Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4775 / 2982
↖ ↑ ↗
← N 81.245005°
W127.540283°		 ← 185.95 m → N 81.245005°
W127.529297°		 →
↑
185.97 m
↓
↑
185.97 m
↓
N 81.243332°
W127.540283°		 ← 185.98 m →
34 583 m²		 N 81.243332°
W127.529297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145736694335938 y=0.0910186767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145736694335938 × 215)
    floor (0.145736694335938 × 32768)
    floor (4775.5)     		tx = 4775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0910186767578125 × 215)
    floor (0.0910186767578125 × 32768)
    floor (2982.5)     		ty = 2982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4775 / 2982 ti = "15/4775/2982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4775/2982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4775 ÷ 215
    4775 ÷ 32768     		x = 0.145721435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2982 ÷ 215
    2982 ÷ 32768     		y = 0.09100341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.145721435546875 × 2 - 1) × π
    -0.70855712890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.22599787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09100341796875 × 2 - 1) × π
    0.8179931640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.56980131483197
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22599787} λ = -2.22599787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56980131483197))-π/2
    2×atan(13.0632287132849)-π/2
    2×1.49439457941929-π/2
    2.98878915883858-1.57079632675     		φ = 1.41799283
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22599787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.540283°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41799283 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.245005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4775 KachelY 2982 -2.22599787 1.41799283 -127.540283 81.245005
    Oben rechts KachelX + 1 4776 KachelY 2982 -2.22580612 1.41799283 -127.529297 81.245005
    Unten links KachelX 4775 KachelY + 1 2983 -2.22599787 1.41796364 -127.540283 81.243332
    Unten rechts KachelX + 1 4776 KachelY + 1 2983 -2.22580612 1.41796364 -127.529297 81.243332
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41799283-1.41796364) × R
    2.91900000000123e-05 × 6371000     		dl = 185.969490000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41799283-1.41796364) × R
    2.91900000000123e-05 × 6371000     		dr = 185.969490000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22599787--2.22580612) × cos(1.41799283) × R
    0.000191749999999935 × 0.152209558129166 × 6371000     		do = 185.945170435682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22599787--2.22580612) × cos(1.41796364) × R
    0.000191749999999935 × 0.152238407949544 × 6371000     		du = 185.980414508612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41799283)-sin(1.41796364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152209558129166-0.152238407949544)×R²
    abs(-2.22580612--2.22599787)×2.88498203779297e-05×R²
    0.000191749999999935×2.88498203779297e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.88498203779297e-05×40589641000000     		ar = 34583.4056777525m²