Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47749 / 55021
↖ ↑ ↗
← N 27.729729°
W 48.853454°		 ← 270.29 m → N 27.729729°
W 48.850708°		 →
↑
270.32 m
↓
↑
270.32 m
↓
N 27.727298°
W 48.853454°		 ← 270.30 m →
73 067 m²		 N 27.727298°
W 48.850708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364299774169922 y=0.419780731201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364299774169922 × 217)
    floor (0.364299774169922 × 131072)
    floor (47749.5)     		tx = 47749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419780731201172 × 217)
    floor (0.419780731201172 × 131072)
    floor (55021.5)     		ty = 55021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47749 / 55021 ti = "17/47749/55021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47749/55021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47749 ÷ 217
    47749 ÷ 131072     		x = 0.364295959472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55021 ÷ 217
    55021 ÷ 131072     		y = 0.419776916503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364295959472656 × 2 - 1) × π
    -0.271408081054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.85265363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419776916503906 × 2 - 1) × π
    0.160446166992188 × 3.1415926535     		Φ = 0.50405649950489
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85265363} λ = -0.85265363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.50405649950489))-π/2
    2×atan(1.65542289108862)-π/2
    2×1.02738570443617-π/2
    2.05477140887235-1.57079632675     		φ = 0.48397508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85265363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.853454°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48397508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.729729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47749 KachelY 55021 -0.85265363 0.48397508 -48.853454 27.729729
    Oben rechts KachelX + 1 47750 KachelY 55021 -0.85260570 0.48397508 -48.850708 27.729729
    Unten links KachelX 47749 KachelY + 1 55022 -0.85265363 0.48393265 -48.853454 27.727298
    Unten rechts KachelX + 1 47750 KachelY + 1 55022 -0.85260570 0.48393265 -48.850708 27.727298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48397508-0.48393265) × R
    4.24299999999822e-05 × 6371000     		dl = 270.321529999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48397508-0.48393265) × R
    4.24299999999822e-05 × 6371000     		dr = 270.321529999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85265363--0.85260570) × cos(0.48397508) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.88515231063841 × 6371000     		do = 270.291906435901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85265363--0.85260570) × cos(0.48393265) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.885172052579766 × 6371000     		du = 270.29793487519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48397508)-sin(0.48393265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88515231063841-0.885172052579766)×R²
    abs(-0.85260570--0.85265363)×1.97419413563438e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.97419413563438e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.97419413563438e-05×40589641000000     		ar = 73066.5365137687m²