Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 47748 / 55116
↖ ↑ ↗
← N 27.498527°
W 48.856201°		 ← 270.92 m → N 27.498527°
W 48.853454°		 →
↑
270.89 m
↓
↑
270.89 m
↓
N 27.496090°
W 48.856201°		 ← 270.93 m →
73 392 m²		 N 27.496090°
W 48.853454°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364292144775391 y=0.420505523681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364292144775391 × 217)
    floor (0.364292144775391 × 131072)
    floor (47748.5)     		tx = 47748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420505523681641 × 217)
    floor (0.420505523681641 × 131072)
    floor (55116.5)     		ty = 55116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47748 / 55116 ti = "17/47748/55116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47748/55116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47748 ÷ 217
    47748 ÷ 131072     		x = 0.364288330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55116 ÷ 217
    55116 ÷ 131072     		y = 0.420501708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364288330078125 × 2 - 1) × π
    -0.27142333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85270157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420501708984375 × 2 - 1) × π
    0.15899658203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.499502494040985
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85270157} λ = -0.85270157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.499502494040985))-π/2
    2×atan(1.64790122604866)-π/2
    2×1.02536807877135-π/2
    2.05073615754271-1.57079632675     		φ = 0.47993983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85270157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.856201°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47993983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.498527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47748 KachelY 55116 -0.85270157 0.47993983 -48.856201 27.498527
    Oben rechts KachelX + 1 47749 KachelY 55116 -0.85265363 0.47993983 -48.853454 27.498527
    Unten links KachelX 47748 KachelY + 1 55117 -0.85270157 0.47989731 -48.856201 27.496090
    Unten rechts KachelX + 1 47749 KachelY + 1 55117 -0.85265363 0.47989731 -48.853454 27.496090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47993983-0.47989731) × R
    4.25199999999903e-05 × 6371000     		dl = 270.894919999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47993983-0.47989731) × R
    4.25199999999903e-05 × 6371000     		dr = 270.894919999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85270157--0.85265363) × cos(0.47993983) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.887022706426609 × 6371000     		do = 270.919566506972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85270157--0.85265363) × cos(0.47989731) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.887042338205952 × 6371000     		du = 270.925562557705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47993983)-sin(0.47989731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887022706426609-0.887042338205952)×R²
    abs(-0.85265363--0.85270157)×1.96317793430545e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96317793430545e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96317793430545e-05×40589641000000     		ar = 73391.5464562322m²