Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47747 / 55022
↖ ↑ ↗
← N 27.727298°
W 48.858948°		 ← 270.35 m → N 27.727298°
W 48.856201°		 →
↑
270.32 m
↓
↑
270.32 m
↓
N 27.724867°
W 48.858948°		 ← 270.36 m →
73 083 m²		 N 27.724867°
W 48.856201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47747 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364284515380859 y=0.419788360595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364284515380859 × 217)
    floor (0.364284515380859 × 131072)
    floor (47747.5)     		tx = 47747
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419788360595703 × 217)
    floor (0.419788360595703 × 131072)
    floor (55022.5)     		ty = 55022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47747 / 55022 ti = "17/47747/55022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47747/55022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47747 ÷ 217
    47747 ÷ 131072     		x = 0.364280700683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55022 ÷ 217
    55022 ÷ 131072     		y = 0.419784545898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364280700683594 × 2 - 1) × π
    -0.271438598632812 × 3.1415926535     		Λ = -0.85274951
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419784545898438 × 2 - 1) × π
    0.160430908203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.50400856260527
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85274951} λ = -0.85274951}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.50400856260527))-π/2
    2×atan(1.65534353714967)-π/2
    2×1.02736448847086-π/2
    2.05472897694172-1.57079632675     		φ = 0.48393265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85274951} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.858948°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48393265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.727298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47747 KachelY 55022 -0.85274951 0.48393265 -48.858948 27.727298
    Oben rechts KachelX + 1 47748 KachelY 55022 -0.85270157 0.48393265 -48.856201 27.727298
    Unten links KachelX 47747 KachelY + 1 55023 -0.85274951 0.48389022 -48.858948 27.724867
    Unten rechts KachelX + 1 47748 KachelY + 1 55023 -0.85270157 0.48389022 -48.856201 27.724867
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48393265-0.48389022) × R
    4.24300000000377e-05 × 6371000     		dl = 270.32153000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48393265-0.48389022) × R
    4.24300000000377e-05 × 6371000     		dr = 270.32153000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85274951--0.85270157) × cos(0.48393265) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.885172052579766 × 6371000     		do = 270.354329186317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85274951--0.85270157) × cos(0.48389022) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.885191792927543 × 6371000     		du = 270.360358396644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48393265)-sin(0.48389022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885172052579766-0.885191792927543)×R²
    abs(-0.85270157--0.85274951)×1.97403477768532e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97403477768532e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97403477768532e-05×40589641000000     		ar = 73083.4108314725m²