Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47743 / 55014
↖ ↑ ↗
← N 27.746746°
W 48.869934°		 ← 270.25 m → N 27.746746°
W 48.867188°		 →
↑
270.32 m
↓
↑
270.32 m
↓
N 27.744315°
W 48.869934°		 ← 270.26 m →
73 055 m²		 N 27.744315°
W 48.867188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364253997802734 y=0.419727325439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364253997802734 × 217)
    floor (0.364253997802734 × 131072)
    floor (47743.5)     		tx = 47743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419727325439453 × 217)
    floor (0.419727325439453 × 131072)
    floor (55014.5)     		ty = 55014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47743 / 55014 ti = "17/47743/55014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47743/55014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47743 ÷ 217
    47743 ÷ 131072     		x = 0.364250183105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55014 ÷ 217
    55014 ÷ 131072     		y = 0.419723510742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364250183105469 × 2 - 1) × π
    -0.271499633789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.85294125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419723510742188 × 2 - 1) × π
    0.160552978515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.504392057802231
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85294125} λ = -0.85294125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.504392057802231))-π/2
    2×atan(1.65597847518555)-π/2
    2×1.02753420294169-π/2
    2.05506840588337-1.57079632675     		φ = 0.48427208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85294125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.869934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48427208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.746746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47743 KachelY 55014 -0.85294125 0.48427208 -48.869934 27.746746
    Oben rechts KachelX + 1 47744 KachelY 55014 -0.85289332 0.48427208 -48.867188 27.746746
    Unten links KachelX 47743 KachelY + 1 55015 -0.85294125 0.48422965 -48.869934 27.744315
    Unten rechts KachelX + 1 47744 KachelY + 1 55015 -0.85289332 0.48422965 -48.867188 27.744315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48427208-0.48422965) × R
    4.24299999999822e-05 × 6371000     		dl = 270.321529999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48427208-0.48422965) × R
    4.24299999999822e-05 × 6371000     		dr = 270.321529999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85294125--0.85289332) × cos(0.48427208) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.885014077087315 × 6371000     		do = 270.249695158125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85294125--0.85289332) × cos(0.48422965) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.885033830182358 × 6371000     		du = 270.255727003326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48427208)-sin(0.48422965))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885014077087315-0.885033830182358)×R²
    abs(-0.85289332--0.85294125)×1.97530950426517e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.97530950426517e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.97530950426517e-05×40589641000000     		ar = 73055.1263569766m²