Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47742 / 55015
↖ ↑ ↗
← N 27.744315°
W 48.872681°		 ← 270.31 m → N 27.744315°
W 48.869934°		 →
↑
270.26 m
↓
↑
270.26 m
↓
N 27.741885°
W 48.872681°		 ← 270.32 m →
73 055 m²		 N 27.741885°
W 48.869934°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364246368408203 y=0.419734954833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364246368408203 × 217)
    floor (0.364246368408203 × 131072)
    floor (47742.5)     		tx = 47742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419734954833984 × 217)
    floor (0.419734954833984 × 131072)
    floor (55015.5)     		ty = 55015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47742 / 55015 ti = "17/47742/55015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47742/55015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47742 ÷ 217
    47742 ÷ 131072     		x = 0.364242553710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55015 ÷ 217
    55015 ÷ 131072     		y = 0.419731140136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364242553710938 × 2 - 1) × π
    -0.271514892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.85298919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419731140136719 × 2 - 1) × π
    0.160537719726562 × 3.1415926535     		Φ = 0.504344120902611
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85298919} λ = -0.85298919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.504344120902611))-π/2
    2×atan(1.65589909461425)-π/2
    2×1.02751299028949-π/2
    2.05502598057897-1.57079632675     		φ = 0.48422965
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85298919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.872681°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48422965 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.744315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47742 KachelY 55015 -0.85298919 0.48422965 -48.872681 27.744315
    Oben rechts KachelX + 1 47743 KachelY 55015 -0.85294125 0.48422965 -48.869934 27.744315
    Unten links KachelX 47742 KachelY + 1 55016 -0.85298919 0.48418723 -48.872681 27.741885
    Unten rechts KachelX + 1 47743 KachelY + 1 55016 -0.85294125 0.48418723 -48.869934 27.741885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48422965-0.48418723) × R
    4.24199999999875e-05 × 6371000     		dl = 270.25781999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48422965-0.48418723) × R
    4.24199999999875e-05 × 6371000     		dr = 270.25781999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85298919--0.85294125) × cos(0.48422965) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.885033830182358 × 6371000     		do = 270.312112508304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85298919--0.85294125) × cos(0.48418723) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.885053577029178 × 6371000     		du = 270.318143703607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48422965)-sin(0.48418723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885033830182358-0.885053577029178)×R²
    abs(-0.85294125--0.85298919)×1.97468468202677e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97468468202677e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97468468202677e-05×40589641000000     		ar = 73054.7772458311m²