Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4774 / 3710
↖ ↑ ↗
← N 16.720385°
E 29.794922°		 ← 4 679.89 m → N 16.720385°
E 29.838867°		 →
↑
4 680.39 m
↓
↑
4 680.39 m
↓
N 16.678293°
E 29.794922°		 ← 4 680.92 m →
21 906 148 m²		 N 16.678293°
E 29.838867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58282470703125 y=0.45294189453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58282470703125 × 213)
    floor (0.58282470703125 × 8192)
    floor (4774.5)     		tx = 4774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.45294189453125 × 213)
    floor (0.45294189453125 × 8192)
    floor (3710.5)     		ty = 3710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4774 / 3710 ti = "13/4774/3710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4774/3710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4774 ÷ 213
    4774 ÷ 8192     		x = 0.582763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3710 ÷ 213
    3710 ÷ 8192     		y = 0.452880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582763671875 × 2 - 1) × π
    0.16552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.52001949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452880859375 × 2 - 1) × π
    0.09423828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.296058292053467
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52001949} λ = 0.52001949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.296058292053467))-π/2
    2×atan(1.34454853104259)-π/2
    2×0.931311049070047-π/2
    1.86262209814009-1.57079632675     		φ = 0.29182577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52001949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.794922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29182577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.720385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4774 KachelY 3710 0.52001949 0.29182577 29.794922 16.720385
    Oben rechts KachelX + 1 4775 KachelY 3710 0.52078648 0.29182577 29.838867 16.720385
    Unten links KachelX 4774 KachelY + 1 3711 0.52001949 0.29109113 29.794922 16.678293
    Unten rechts KachelX + 1 4775 KachelY + 1 3711 0.52078648 0.29109113 29.838867 16.678293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29182577-0.29109113) × R
    0.000734640000000009 × 6371000     		dl = 4680.39144000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29182577-0.29109113) × R
    0.000734640000000009 × 6371000     		dr = 4680.39144000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52001949-0.52078648) × cos(0.29182577) × R
    0.000766990000000023 × 0.957720195686806 × 6371000     		do = 4679.8933099212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52001949-0.52078648) × cos(0.29109113) × R
    0.000766990000000023 × 0.957931294097632 × 6371000     		du = 4680.92484088923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29182577)-sin(0.29109113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957720195686806-0.957931294097632)×R²
    abs(0.52078648-0.52001949)×0.000211098410825672×R²
    0.000766990000000023×0.000211098410825672×6371000²
    0.000766990000000023×0.000211098410825672×40589641000000     		ar = 21906147.5574467m²