Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4774 / 3212
↖ ↑ ↗
← N 80.851891°
W127.551270°		 ← 194.22 m → N 80.851891°
W127.540283°		 →
↑
194.25 m
↓
↑
194.25 m
↓
N 80.850144°
W127.551270°		 ← 194.26 m →
37 732 m²		 N 80.850144°
W127.540283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145706176757812 y=0.0980377197265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145706176757812 × 215)
    floor (0.145706176757812 × 32768)
    floor (4774.5)     		tx = 4774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0980377197265625 × 215)
    floor (0.0980377197265625 × 32768)
    floor (3212.5)     		ty = 3212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4774 / 3212 ti = "15/4774/3212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4774/3212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4774 ÷ 215
    4774 ÷ 32768     		x = 0.14569091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3212 ÷ 215
    3212 ÷ 32768     		y = 0.0980224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14569091796875 × 2 - 1) × π
    -0.7086181640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.22618962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0980224609375 × 2 - 1) × π
    0.803955078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.52569936718152
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22618962} λ = -2.22618962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52569936718152))-π/2
    2×atan(12.4996340412729)-π/2
    2×1.49096401377345-π/2
    2.9819280275469-1.57079632675     		φ = 1.41113170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22618962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.551270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41113170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.851891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4774 KachelY 3212 -2.22618962 1.41113170 -127.551270 80.851891
    Oben rechts KachelX + 1 4775 KachelY 3212 -2.22599787 1.41113170 -127.540283 80.851891
    Unten links KachelX 4774 KachelY + 1 3213 -2.22618962 1.41110121 -127.551270 80.850144
    Unten rechts KachelX + 1 4775 KachelY + 1 3213 -2.22599787 1.41110121 -127.540283 80.850144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41113170-1.41110121) × R
    3.04900000001052e-05 × 6371000     		dl = 194.25179000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41113170-1.41110121) × R
    3.04900000001052e-05 × 6371000     		dr = 194.25179000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22618962--2.22599787) × cos(1.41113170) × R
    0.000191749999999935 × 0.158987108082589 × 6371000     		do = 194.224891477617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22618962--2.22599787) × cos(1.41110121) × R
    0.000191749999999935 × 0.159017210195974 × 6371000     		du = 194.261665400836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41113170)-sin(1.41110121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158987108082589-0.159017210195974)×R²
    abs(-2.22599787--2.22618962)×3.01021133852775e-05×R²
    0.000191749999999935×3.01021133852775e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.01021133852775e-05×40589641000000     		ar = 37732.1045353954m²