Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47734 / 60558
↖ ↑ ↗
← N 13.544541°
W 48.894653°		 ← 296.93 m → N 13.544541°
W 48.891907°		 →
↑
296.95 m
↓
↑
296.95 m
↓
N 13.541871°
W 48.894653°		 ← 296.93 m →
88 175 m²		 N 13.541871°
W 48.891907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364185333251953 y=0.462024688720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364185333251953 × 217)
    floor (0.364185333251953 × 131072)
    floor (47734.5)     		tx = 47734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462024688720703 × 217)
    floor (0.462024688720703 × 131072)
    floor (60558.5)     		ty = 60558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47734 / 60558 ti = "17/47734/60558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47734/60558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47734 ÷ 217
    47734 ÷ 131072     		x = 0.364181518554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60558 ÷ 217
    60558 ÷ 131072     		y = 0.462020874023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364181518554688 × 2 - 1) × π
    -0.271636962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.85337269
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462020874023438 × 2 - 1) × π
    0.075958251953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.23862988630864
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85337269} λ = -0.85337269}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.23862988630864))-π/2
    2×atan(1.26950858711244)-π/2
    2×0.903596582483511-π/2
    1.80719316496702-1.57079632675     		φ = 0.23639684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85337269} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.894653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23639684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.544541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47734 KachelY 60558 -0.85337269 0.23639684 -48.894653 13.544541
    Oben rechts KachelX + 1 47735 KachelY 60558 -0.85332475 0.23639684 -48.891907 13.544541
    Unten links KachelX 47734 KachelY + 1 60559 -0.85337269 0.23635023 -48.894653 13.541871
    Unten rechts KachelX + 1 47735 KachelY + 1 60559 -0.85332475 0.23635023 -48.891907 13.541871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23639684-0.23635023) × R
    4.66100000000025e-05 × 6371000     		dl = 296.952310000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23639684-0.23635023) × R
    4.66100000000025e-05 × 6371000     		dr = 296.952310000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85337269--0.85332475) × cos(0.23639684) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.972188148276175 × 6371000     		do = 296.931284606973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85337269--0.85332475) × cos(0.23635023) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.972199063338293 × 6371000     		du = 296.934618347898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23639684)-sin(0.23635023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.972188148276175-0.972199063338293)×R²
    abs(-0.85332475--0.85337269)×1.09150621184773e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.09150621184773e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.09150621184773e-05×40589641000000     		ar = 88174.9258722725m²