Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47734 / 55161
↖ ↑ ↗
← N 27.388840°
W 48.894653°		 ← 271.19 m → N 27.388840°
W 48.891907°		 →
↑
271.21 m
↓
↑
271.21 m
↓
N 27.386401°
W 48.894653°		 ← 271.20 m →
73 551 m²		 N 27.386401°
W 48.891907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364185333251953 y=0.420848846435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364185333251953 × 217)
    floor (0.364185333251953 × 131072)
    floor (47734.5)     		tx = 47734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420848846435547 × 217)
    floor (0.420848846435547 × 131072)
    floor (55161.5)     		ty = 55161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47734 / 55161 ti = "17/47734/55161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47734/55161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47734 ÷ 217
    47734 ÷ 131072     		x = 0.364181518554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55161 ÷ 217
    55161 ÷ 131072     		y = 0.420845031738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364181518554688 × 2 - 1) × π
    -0.271636962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.85337269
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420845031738281 × 2 - 1) × π
    0.158309936523438 × 3.1415926535     		Φ = 0.497345333558083
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85337269} λ = -0.85337269}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.497345333558083))-π/2
    2×atan(1.64435027001211)-π/2
    2×1.02441087757606-π/2
    2.04882175515213-1.57079632675     		φ = 0.47802543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85337269} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.894653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47802543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.388840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47734 KachelY 55161 -0.85337269 0.47802543 -48.894653 27.388840
    Oben rechts KachelX + 1 47735 KachelY 55161 -0.85332475 0.47802543 -48.891907 27.388840
    Unten links KachelX 47734 KachelY + 1 55162 -0.85337269 0.47798286 -48.894653 27.386401
    Unten rechts KachelX + 1 47735 KachelY + 1 55162 -0.85332475 0.47798286 -48.891907 27.386401
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47802543-0.47798286) × R
    4.2569999999964e-05 × 6371000     		dl = 271.213469999771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47802543-0.47798286) × R
    4.2569999999964e-05 × 6371000     		dr = 271.213469999771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85337269--0.85332475) × cos(0.47802543) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.887905008329891 × 6371000     		do = 271.189044219313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85337269--0.85332475) × cos(0.47798286) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.887924590868055 × 6371000     		du = 271.195025230523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47802543)-sin(0.47798286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887905008329891-0.887924590868055)×R²
    abs(-0.85332475--0.85337269)×1.95825381631431e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.95825381631431e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.95825381631431e-05×40589641000000     		ar = 73550.9327851463m²