Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47733 / 55171
↖ ↑ ↗
← N 27.364450°
W 48.897400°		 ← 271.19 m → N 27.364450°
W 48.894653°		 →
↑
271.28 m
↓
↑
271.28 m
↓
N 27.362010°
W 48.897400°		 ← 271.20 m →
73 569 m²		 N 27.362010°
W 48.894653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47733 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364177703857422 y=0.420925140380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364177703857422 × 217)
    floor (0.364177703857422 × 131072)
    floor (47733.5)     		tx = 47733
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420925140380859 × 217)
    floor (0.420925140380859 × 131072)
    floor (55171.5)     		ty = 55171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47733 / 55171 ti = "17/47733/55171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47733/55171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47733 ÷ 217
    47733 ÷ 131072     		x = 0.364173889160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55171 ÷ 217
    55171 ÷ 131072     		y = 0.420921325683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364173889160156 × 2 - 1) × π
    -0.271652221679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.85342062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420921325683594 × 2 - 1) × π
    0.158157348632812 × 3.1415926535     		Φ = 0.496865964561882
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85342062} λ = -0.85342062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.496865964561882))-π/2
    2×atan(1.64356220837502)-π/2
    2×1.02419803704882-π/2
    2.04839607409763-1.57079632675     		φ = 0.47759975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85342062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.897400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47759975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.364450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47733 KachelY 55171 -0.85342062 0.47759975 -48.897400 27.364450
    Oben rechts KachelX + 1 47734 KachelY 55171 -0.85337269 0.47759975 -48.894653 27.364450
    Unten links KachelX 47733 KachelY + 1 55172 -0.85342062 0.47755717 -48.897400 27.362010
    Unten rechts KachelX + 1 47734 KachelY + 1 55172 -0.85337269 0.47755717 -48.894653 27.362010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47759975-0.47755717) × R
    4.25800000000143e-05 × 6371000     		dl = 271.277180000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47759975-0.47755717) × R
    4.25800000000143e-05 × 6371000     		dr = 271.277180000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85342062--0.85337269) × cos(0.47759975) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.888100752104731 × 6371000     		do = 271.192248506765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85342062--0.85337269) × cos(0.47755717) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.888120323147151 × 6371000     		du = 271.198224760008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47759975)-sin(0.47755717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888100752104731-0.888120323147151)×R²
    abs(-0.85337269--0.85342062)×1.957104242023e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.957104242023e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.957104242023e-05×40589641000000     		ar = 73569.0790345324m²