Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 47733 / 55166
↖ ↑ ↗
← N 27.376645°
W 48.897400°		 ← 271.16 m → N 27.376645°
W 48.894653°		 →
↑
271.21 m
↓
↑
271.21 m
↓
N 27.374206°
W 48.897400°		 ← 271.17 m →
73 544 m²		 N 27.374206°
W 48.894653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47733 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364177703857422 y=0.420886993408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364177703857422 × 217)
    floor (0.364177703857422 × 131072)
    floor (47733.5)     		tx = 47733
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420886993408203 × 217)
    floor (0.420886993408203 × 131072)
    floor (55166.5)     		ty = 55166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47733 / 55166 ti = "17/47733/55166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47733/55166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47733 ÷ 217
    47733 ÷ 131072     		x = 0.364173889160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55166 ÷ 217
    55166 ÷ 131072     		y = 0.420883178710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364173889160156 × 2 - 1) × π
    -0.271652221679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.85342062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420883178710938 × 2 - 1) × π
    0.158233642578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.497105649059982
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85342062} λ = -0.85342062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.497105649059982))-π/2
    2×atan(1.64395619197203)-π/2
    2×1.02430446317705-π/2
    2.0486089263541-1.57079632675     		φ = 0.47781260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85342062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.897400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47781260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.376645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47733 KachelY 55166 -0.85342062 0.47781260 -48.897400 27.376645
    Oben rechts KachelX + 1 47734 KachelY 55166 -0.85337269 0.47781260 -48.894653 27.376645
    Unten links KachelX 47733 KachelY + 1 55167 -0.85342062 0.47777003 -48.897400 27.374206
    Unten rechts KachelX + 1 47734 KachelY + 1 55167 -0.85337269 0.47777003 -48.894653 27.374206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47781260-0.47777003) × R
    4.2569999999964e-05 × 6371000     		dl = 271.213469999771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47781260-0.47777003) × R
    4.2569999999964e-05 × 6371000     		dr = 271.213469999771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85342062--0.85337269) × cos(0.47781260) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.888002895732582 × 6371000     		do = 271.162366886318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85342062--0.85337269) × cos(0.47777003) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.88802247022564 × 6371000     		du = 271.168344193254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47781260)-sin(0.47777003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888002895732582-0.88802247022564)×R²
    abs(-0.85337269--0.85342062)×1.95744930578945e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.95744930578945e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.95744930578945e-05×40589641000000     		ar = 73543.697030773m²