Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4773 / 3704
↖ ↑ ↗
← N 16.972741°
E 29.750977°		 ← 4 673.66 m → N 16.972741°
E 29.794922°		 →
↑
4 674.15 m
↓
↑
4 674.15 m
↓
N 16.930705°
E 29.750977°		 ← 4 674.70 m →
21 847 803 m²		 N 16.930705°
E 29.794922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58270263671875 y=0.45220947265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58270263671875 × 213)
    floor (0.58270263671875 × 8192)
    floor (4773.5)     		tx = 4773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.45220947265625 × 213)
    floor (0.45220947265625 × 8192)
    floor (3704.5)     		ty = 3704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4773 / 3704 ti = "13/4773/3704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4773/3704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4773 ÷ 213
    4773 ÷ 8192     		x = 0.5826416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3704 ÷ 213
    3704 ÷ 8192     		y = 0.4521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5826416015625 × 2 - 1) × π
    0.165283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51925250
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4521484375 × 2 - 1) × π
    0.095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.300660234416992
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51925250} λ = 0.51925250}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.300660234416992))-π/2
    2×atan(1.35075032509173)-π/2
    2×0.933513270336981-π/2
    1.86702654067396-1.57079632675     		φ = 0.29623021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51925250} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.750977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29623021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.972741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4773 KachelY 3704 0.51925250 0.29623021 29.750977 16.972741
    Oben rechts KachelX + 1 4774 KachelY 3704 0.52001949 0.29623021 29.794922 16.972741
    Unten links KachelX 4773 KachelY + 1 3705 0.51925250 0.29549655 29.750977 16.930705
    Unten rechts KachelX + 1 4774 KachelY + 1 3705 0.52001949 0.29549655 29.794922 16.930705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29623021-0.29549655) × R
    0.000733659999999969 × 6371000     		dl = 4674.1478599998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29623021-0.29549655) × R
    0.000733659999999969 × 6371000     		dr = 4674.1478599998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51925250-0.52001949) × cos(0.29623021) × R
    0.000766990000000023 × 0.956443747320158 × 6371000     		do = 4673.65595354255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51925250-0.52001949) × cos(0.29549655) × R
    0.000766990000000023 × 0.956657657498892 × 6371000     		du = 4674.70122419559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29623021)-sin(0.29549655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.956443747320158-0.956657657498892)×R²
    abs(0.52001949-0.51925250)×0.00021391017873329×R²
    0.000766990000000023×0.00021391017873329×6371000²
    0.000766990000000023×0.00021391017873329×40589641000000     		ar = 21847802.8283973m²