Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 47729 / 55151
↖ ↑ ↗
← N 27.413224°
W 48.908386°		 ← 271.13 m → N 27.413224°
W 48.905639°		 →
↑
271.15 m
↓
↑
271.15 m
↓
N 27.410786°
W 48.908386°		 ← 271.14 m →
73 517 m²		 N 27.410786°
W 48.905639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364147186279297 y=0.420772552490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364147186279297 × 217)
    floor (0.364147186279297 × 131072)
    floor (47729.5)     		tx = 47729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420772552490234 × 217)
    floor (0.420772552490234 × 131072)
    floor (55151.5)     		ty = 55151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47729 / 55151 ti = "17/47729/55151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47729/55151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47729 ÷ 217
    47729 ÷ 131072     		x = 0.364143371582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55151 ÷ 217
    55151 ÷ 131072     		y = 0.420768737792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364143371582031 × 2 - 1) × π
    -0.271713256835938 × 3.1415926535     		Λ = -0.85361237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420768737792969 × 2 - 1) × π
    0.158462524414062 × 3.1415926535     		Φ = 0.497824702554283
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85361237} λ = -0.85361237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.497824702554283))-π/2
    2×atan(1.64513870951207)-π/2
    2×1.02462367117234-π/2
    2.04924734234468-1.57079632675     		φ = 0.47845102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85361237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.908386°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47845102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.413224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47729 KachelY 55151 -0.85361237 0.47845102 -48.908386 27.413224
    Oben rechts KachelX + 1 47730 KachelY 55151 -0.85356443 0.47845102 -48.905639 27.413224
    Unten links KachelX 47729 KachelY + 1 55152 -0.85361237 0.47840846 -48.908386 27.410786
    Unten rechts KachelX + 1 47730 KachelY + 1 55152 -0.85356443 0.47840846 -48.905639 27.410786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47845102-0.47840846) × R
    4.25600000000248e-05 × 6371000     		dl = 271.149760000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47845102-0.47840846) × R
    4.25600000000248e-05 × 6371000     		dr = 271.149760000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85361237--0.85356443) × cos(0.47845102) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.887709145100018 × 6371000     		do = 271.129222546763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85361237--0.85356443) × cos(0.47840846) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.887728739119416 × 6371000     		du = 271.135207064637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47845102)-sin(0.47840846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887709145100018-0.887728739119416)×R²
    abs(-0.85356443--0.85361237)×1.95940193978839e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95940193978839e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95940193978839e-05×40589641000000     		ar = 73517.434983915m²