Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47728 / 55152
↖ ↑ ↗
← N 27.410786°
W 48.911133°		 ← 271.14 m → N 27.410786°
W 48.908386°		 →
↑
271.09 m
↓
↑
271.09 m
↓
N 27.408348°
W 48.911133°		 ← 271.14 m →
73 502 m²		 N 27.408348°
W 48.908386°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364139556884766 y=0.420780181884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364139556884766 × 217)
    floor (0.364139556884766 × 131072)
    floor (47728.5)     		tx = 47728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420780181884766 × 217)
    floor (0.420780181884766 × 131072)
    floor (55152.5)     		ty = 55152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47728 / 55152 ti = "17/47728/55152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47728/55152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47728 ÷ 217
    47728 ÷ 131072     		x = 0.3641357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55152 ÷ 217
    55152 ÷ 131072     		y = 0.4207763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3641357421875 × 2 - 1) × π
    -0.271728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.85366031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4207763671875 × 2 - 1) × π
    0.158447265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.497776765654663
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85366031} λ = -0.85366031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.497776765654663))-π/2
    2×atan(1.64505984855309)-π/2
    2×1.02460239392541-π/2
    2.04920478785082-1.57079632675     		φ = 0.47840846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85366031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.911133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47840846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.410786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47728 KachelY 55152 -0.85366031 0.47840846 -48.911133 27.410786
    Oben rechts KachelX + 1 47729 KachelY 55152 -0.85361237 0.47840846 -48.908386 27.410786
    Unten links KachelX 47728 KachelY + 1 55153 -0.85366031 0.47836591 -48.911133 27.408348
    Unten rechts KachelX + 1 47729 KachelY + 1 55153 -0.85361237 0.47836591 -48.908386 27.408348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47840846-0.47836591) × R
    4.25499999999746e-05 × 6371000     		dl = 271.086049999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47840846-0.47836591) × R
    4.25499999999746e-05 × 6371000     		dr = 271.086049999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85366031--0.85361237) × cos(0.47840846) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.887728739119416 × 6371000     		do = 271.135207064637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85366031--0.85361237) × cos(0.47836591) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.887748326927532 × 6371000     		du = 271.141189685426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47840846)-sin(0.47836591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887728739119416-0.887748326927532)×R²
    abs(-0.85361237--0.85366031)×1.95878081159506e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95878081159506e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95878081159506e-05×40589641000000     		ar = 73501.7832126336m²