Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47727 / 55121
↖ ↑ ↗
← N 27.486344°
W 48.913880°		 ← 270.95 m → N 27.486344°
W 48.911133°		 →
↑
270.89 m
↓
↑
270.89 m
↓
N 27.483908°
W 48.913880°		 ← 270.96 m →
73 400 m²		 N 27.483908°
W 48.911133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364131927490234 y=0.420543670654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364131927490234 × 217)
    floor (0.364131927490234 × 131072)
    floor (47727.5)     		tx = 47727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420543670654297 × 217)
    floor (0.420543670654297 × 131072)
    floor (55121.5)     		ty = 55121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47727 / 55121 ti = "17/47727/55121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47727/55121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47727 ÷ 217
    47727 ÷ 131072     		x = 0.364128112792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55121 ÷ 217
    55121 ÷ 131072     		y = 0.420539855957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364128112792969 × 2 - 1) × π
    -0.271743774414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.85370825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420539855957031 × 2 - 1) × π
    0.158920288085938 × 3.1415926535     		Φ = 0.499262809542885
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85370825} λ = -0.85370825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.499262809542885))-π/2
    2×atan(1.64750629700146)-π/2
    2×1.0252617700937-π/2
    2.05052354018739-1.57079632675     		φ = 0.47972721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85370825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.913880°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47972721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.486344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47727 KachelY 55121 -0.85370825 0.47972721 -48.913880 27.486344
    Oben rechts KachelX + 1 47728 KachelY 55121 -0.85366031 0.47972721 -48.911133 27.486344
    Unten links KachelX 47727 KachelY + 1 55122 -0.85370825 0.47968469 -48.913880 27.483908
    Unten rechts KachelX + 1 47728 KachelY + 1 55122 -0.85366031 0.47968469 -48.911133 27.483908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47972721-0.47968469) × R
    4.25199999999903e-05 × 6371000     		dl = 270.894919999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47972721-0.47968469) × R
    4.25199999999903e-05 × 6371000     		dr = 270.894919999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85370825--0.85366031) × cos(0.47972721) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.887120858516428 × 6371000     		do = 270.949544681638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85370825--0.85366031) × cos(0.47968469) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.887140482276019 × 6371000     		du = 270.955538282932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47972721)-sin(0.47968469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887120858516428-0.887140482276019)×R²
    abs(-0.85366031--0.85370825)×1.96237595909698e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96237595909698e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96237595909698e-05×40589641000000     		ar = 73399.667059675m²