Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47724 / 54956
↖ ↑ ↗
← N 27.887639°
W 48.922119°		 ← 269.96 m → N 27.887639°
W 48.919373°		 →
↑
269.94 m
↓
↑
269.94 m
↓
N 27.885211°
W 48.922119°		 ← 269.96 m →
72 872 m²		 N 27.885211°
W 48.919373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364109039306641 y=0.419284820556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364109039306641 × 217)
    floor (0.364109039306641 × 131072)
    floor (47724.5)     		tx = 47724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419284820556641 × 217)
    floor (0.419284820556641 × 131072)
    floor (54956.5)     		ty = 54956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47724 / 54956 ti = "17/47724/54956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47724/54956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47724 ÷ 217
    47724 ÷ 131072     		x = 0.364105224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54956 ÷ 217
    54956 ÷ 131072     		y = 0.419281005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364105224609375 × 2 - 1) × π
    -0.27178955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.85385206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419281005859375 × 2 - 1) × π
    0.16143798828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.507172397980194
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85385206} λ = -0.85385206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.507172397980194))-π/2
    2×atan(1.66058906520819)-π/2
    2×1.02876372586471-π/2
    2.05752745172941-1.57079632675     		φ = 0.48673112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85385206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.922119°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48673112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.887639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47724 KachelY 54956 -0.85385206 0.48673112 -48.922119 27.887639
    Oben rechts KachelX + 1 47725 KachelY 54956 -0.85380412 0.48673112 -48.919373 27.887639
    Unten links KachelX 47724 KachelY + 1 54957 -0.85385206 0.48668875 -48.922119 27.885211
    Unten rechts KachelX + 1 47725 KachelY + 1 54957 -0.85380412 0.48668875 -48.919373 27.885211
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48673112-0.48668875) × R
    4.23700000000138e-05 × 6371000     		dl = 269.939270000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48673112-0.48668875) × R
    4.23700000000138e-05 × 6371000     		dr = 269.939270000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85385206--0.85380412) × cos(0.48673112) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.88386656131022 × 6371000     		do = 269.955598549252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85385206--0.85380412) × cos(0.48668875) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.883886378624151 × 6371000     		du = 269.961651267024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48673112)-sin(0.48668875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88386656131022-0.883886378624151)×R²
    abs(-0.85380412--0.85385206)×1.98173139313029e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.98173139313029e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.98173139313029e-05×40589641000000     		ar = 72872.4341488843m²