Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4772 / 3644
↖ ↑ ↗
← N 19.476950°
E 29.707031°		 ← 4 606.87 m → N 19.476950°
E 29.750977°		 →
↑
4 607.44 m
↓
↑
4 607.44 m
↓
N 19.435515°
E 29.707031°		 ← 4 608.04 m →
21 228 593 m²		 N 19.435515°
E 29.750977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58258056640625 y=0.44488525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58258056640625 × 213)
    floor (0.58258056640625 × 8192)
    floor (4772.5)     		tx = 4772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.44488525390625 × 213)
    floor (0.44488525390625 × 8192)
    floor (3644.5)     		ty = 3644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4772 / 3644 ti = "13/4772/3644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4772/3644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4772 ÷ 213
    4772 ÷ 8192     		x = 0.58251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3644 ÷ 213
    3644 ÷ 8192     		y = 0.44482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58251953125 × 2 - 1) × π
    0.1650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51848551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44482421875 × 2 - 1) × π
    0.1103515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.346679658052246
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51848551} λ = 0.51848551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.346679658052246))-π/2
    2×atan(1.41436357281067)-π/2
    2×0.955366618067884-π/2
    1.91073323613577-1.57079632675     		φ = 0.33993691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51848551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.707031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33993691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.476950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4772 KachelY 3644 0.51848551 0.33993691 29.707031 19.476950
    Oben rechts KachelX + 1 4773 KachelY 3644 0.51925250 0.33993691 29.750977 19.476950
    Unten links KachelX 4772 KachelY + 1 3645 0.51848551 0.33921372 29.707031 19.435515
    Unten rechts KachelX + 1 4773 KachelY + 1 3645 0.51925250 0.33921372 29.750977 19.435515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33993691-0.33921372) × R
    0.000723189999999985 × 6371000     		dl = 4607.4434899999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33993691-0.33921372) × R
    0.000723189999999985 × 6371000     		dr = 4607.4434899999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51848551-0.51925250) × cos(0.33993691) × R
    0.000766990000000023 × 0.94277570335273 × 6371000     		do = 4606.86714840828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51848551-0.51925250) × cos(0.33921372) × R
    0.000766990000000023 × 0.943016588309602 × 6371000     		du = 4608.0442311337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33993691)-sin(0.33921372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94277570335273-0.943016588309602)×R²
    abs(0.51925250-0.51848551)×0.000240884956872689×R²
    0.000766990000000023×0.000240884956872689×6371000²
    0.000766990000000023×0.000240884956872689×40589641000000     		ar = 21228592.6485168m²