Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 47712 / 54944
↖ ↑ ↗
← N 27.916766°
W 48.955078°		 ← 269.88 m → N 27.916766°
W 48.952331°		 →
↑
269.81 m
↓
↑
269.81 m
↓
N 27.914340°
W 48.955078°		 ← 269.89 m →
72 818 m²		 N 27.914340°
W 48.952331°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364017486572266 y=0.419193267822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364017486572266 × 217)
    floor (0.364017486572266 × 131072)
    floor (47712.5)     		tx = 47712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419193267822266 × 217)
    floor (0.419193267822266 × 131072)
    floor (54944.5)     		ty = 54944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47712 / 54944 ti = "17/47712/54944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47712/54944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47712 ÷ 217
    47712 ÷ 131072     		x = 0.364013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54944 ÷ 217
    54944 ÷ 131072     		y = 0.419189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364013671875 × 2 - 1) × π
    -0.27197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.85442730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419189453125 × 2 - 1) × π
    0.16162109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.507747640775635
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85442730} λ = -0.85442730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.507747640775635))-π/2
    2×atan(1.66154458190484)-π/2
    2×1.02901791059139-π/2
    2.05803582118279-1.57079632675     		φ = 0.48723949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85442730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.955078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48723949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.916766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47712 KachelY 54944 -0.85442730 0.48723949 -48.955078 27.916766
    Oben rechts KachelX + 1 47713 KachelY 54944 -0.85437936 0.48723949 -48.952331 27.916766
    Unten links KachelX 47712 KachelY + 1 54945 -0.85442730 0.48719714 -48.955078 27.914340
    Unten rechts KachelX + 1 47713 KachelY + 1 54945 -0.85437936 0.48719714 -48.952331 27.914340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48723949-0.48719714) × R
    4.23500000000243e-05 × 6371000     		dl = 269.811850000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48723949-0.48719714) × R
    4.23500000000243e-05 × 6371000     		dr = 269.811850000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85442730--0.85437936) × cos(0.48723949) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.883628662561301 × 6371000     		do = 269.882938147819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85442730--0.85437936) × cos(0.48719714) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.88364848954803 × 6371000     		du = 269.888993819912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48723949)-sin(0.48719714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883628662561301-0.88364848954803)×R²
    abs(-0.85437936--0.85442730)×1.98269867284218e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.98269867284218e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.98269867284218e-05×40589641000000     		ar = 72818.4317820117m²