Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47710 / 54947
↖ ↑ ↗
← N 27.909485°
W 48.960571°		 ← 269.84 m → N 27.909485°
W 48.957825°		 →
↑
269.88 m
↓
↑
269.88 m
↓
N 27.907058°
W 48.960571°		 ← 269.85 m →
72 825 m²		 N 27.907058°
W 48.957825°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364002227783203 y=0.419216156005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364002227783203 × 217)
    floor (0.364002227783203 × 131072)
    floor (47710.5)     		tx = 47710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419216156005859 × 217)
    floor (0.419216156005859 × 131072)
    floor (54947.5)     		ty = 54947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47710 / 54947 ti = "17/47710/54947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47710/54947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47710 ÷ 217
    47710 ÷ 131072     		x = 0.363998413085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54947 ÷ 217
    54947 ÷ 131072     		y = 0.419212341308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.363998413085938 × 2 - 1) × π
    -0.272003173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.85452317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419212341308594 × 2 - 1) × π
    0.161575317382812 × 3.1415926535     		Φ = 0.507603830076775
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85452317} λ = -0.85452317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.507603830076775))-π/2
    2×atan(1.66130565119813)-π/2
    2×1.02895437082491-π/2
    2.05790874164981-1.57079632675     		φ = 0.48711241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85452317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.960571°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48711241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.909485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47710 KachelY 54947 -0.85452317 0.48711241 -48.960571 27.909485
    Oben rechts KachelX + 1 47711 KachelY 54947 -0.85447524 0.48711241 -48.957825 27.909485
    Unten links KachelX 47710 KachelY + 1 54948 -0.85452317 0.48707005 -48.960571 27.907058
    Unten rechts KachelX + 1 47711 KachelY + 1 54948 -0.85447524 0.48707005 -48.957825 27.907058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48711241-0.48707005) × R
    4.2360000000019e-05 × 6371000     		dl = 269.875560000121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48711241-0.48707005) × R
    4.2360000000019e-05 × 6371000     		dr = 269.875560000121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85452317--0.85447524) × cos(0.48711241) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.883688152809204 × 6371000     		do = 269.844808228934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85452317--0.85447524) × cos(0.48707005) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.88370797972056 × 6371000     		du = 269.850862614834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48711241)-sin(0.48707005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883688152809204-0.88370797972056)×R²
    abs(-0.85447524--0.85452317)×1.98269113554916e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.98269113554916e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.98269113554916e-05×40589641000000     		ar = 72825.3357102121m²