Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4771 / 3874
↖ ↑ ↗
← N  9.709057°
E 29.663086°		 ← 4 816.50 m → N  9.709057°
E 29.707031°		 →
↑
4 816.79 m
↓
↑
4 816.79 m
↓
N  9.665738°
E 29.663086°		 ← 4 817.12 m →
23 201 605 m²		 N  9.665738°
E 29.707031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58245849609375 y=0.47296142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58245849609375 × 213)
    floor (0.58245849609375 × 8192)
    floor (4771.5)     		tx = 4771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.47296142578125 × 213)
    floor (0.47296142578125 × 8192)
    floor (3874.5)     		ty = 3874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4771 / 3874 ti = "13/4771/3874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4771/3874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4771 ÷ 213
    4771 ÷ 8192     		x = 0.5823974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3874 ÷ 213
    3874 ÷ 8192     		y = 0.472900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5823974609375 × 2 - 1) × π
    0.164794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51771852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.472900390625 × 2 - 1) × π
    0.05419921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.170271867450439
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51771852} λ = 0.51771852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.170271867450439))-π/2
    2×atan(1.18562714093633)-π/2
    2×0.870125669950758-π/2
    1.74025133990152-1.57079632675     		φ = 0.16945501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51771852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.663086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.16945501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 9.709057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4771 KachelY 3874 0.51771852 0.16945501 29.663086 9.709057
    Oben rechts KachelX + 1 4772 KachelY 3874 0.51848551 0.16945501 29.707031 9.709057
    Unten links KachelX 4771 KachelY + 1 3875 0.51771852 0.16869896 29.663086 9.665738
    Unten rechts KachelX + 1 4772 KachelY + 1 3875 0.51848551 0.16869896 29.707031 9.665738
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.16945501-0.16869896) × R
    0.00075604999999998 × 6371000     		dl = 4816.79454999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.16945501-0.16869896) × R
    0.00075604999999998 × 6371000     		dr = 4816.79454999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51771852-0.51848551) × cos(0.16945501) × R
    0.000766990000000023 × 0.985676823227132 × 6371000     		do = 4816.50318280804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51771852-0.51848551) × cos(0.16869896) × R
    0.000766990000000023 × 0.985804045698839 × 6371000     		du = 4817.12485456238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.16945501)-sin(0.16869896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985676823227132-0.985804045698839)×R²
    abs(0.51848551-0.51771852)×0.000127222471707378×R²
    0.000766990000000023×0.000127222471707378×6371000²
    0.000766990000000023×0.000127222471707378×40589641000000     		ar = 23201604.6187577m²