Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4771 / 3667
↖ ↑ ↗
← N 18.521284°
E 29.663086°		 ← 4 633.40 m → N 18.521284°
E 29.707031°		 →
↑
4 634.01 m
↓
↑
4 634.01 m
↓
N 18.479609°
E 29.663086°		 ← 4 634.53 m →
21 473 843 m²		 N 18.479609°
E 29.707031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58245849609375 y=0.44769287109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58245849609375 × 213)
    floor (0.58245849609375 × 8192)
    floor (4771.5)     		tx = 4771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.44769287109375 × 213)
    floor (0.44769287109375 × 8192)
    floor (3667.5)     		ty = 3667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4771 / 3667 ti = "13/4771/3667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4771/3667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4771 ÷ 213
    4771 ÷ 8192     		x = 0.5823974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3667 ÷ 213
    3667 ÷ 8192     		y = 0.4476318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5823974609375 × 2 - 1) × π
    0.164794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51771852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4476318359375 × 2 - 1) × π
    0.104736328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.329038878992065
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51771852} λ = 0.51771852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.329038878992065))-π/2
    2×atan(1.38963188202427)-π/2
    2×0.947026851255307-π/2
    1.89405370251061-1.57079632675     		φ = 0.32325738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51771852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.663086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32325738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.521284°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4771 KachelY 3667 0.51771852 0.32325738 29.663086 18.521284
    Oben rechts KachelX + 1 4772 KachelY 3667 0.51848551 0.32325738 29.707031 18.521284
    Unten links KachelX 4771 KachelY + 1 3668 0.51771852 0.32253002 29.663086 18.479609
    Unten rechts KachelX + 1 4772 KachelY + 1 3668 0.51848551 0.32253002 29.707031 18.479609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32325738-0.32253002) × R
    0.00072736000000001 × 6371000     		dl = 4634.01056000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32325738-0.32253002) × R
    0.00072736000000001 × 6371000     		dr = 4634.01056000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51771852-0.51848551) × cos(0.32325738) × R
    0.000766990000000023 × 0.948205721132895 × 6371000     		do = 4633.40089385564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51771852-0.51848551) × cos(0.32253002) × R
    0.000766990000000023 × 0.948436521214896 × 6371000     		du = 4634.52869690767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32325738)-sin(0.32253002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948205721132895-0.948436521214896)×R²
    abs(0.51848551-0.51771852)×0.000230800082000604×R²
    0.000766990000000023×0.000230800082000604×6371000²
    0.000766990000000023×0.000230800082000604×40589641000000     		ar = 21473842.7431988m²