Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47709 / 55006
↖ ↑ ↗
← N 27.766191°
W 48.963318°		 ← 270.26 m → N 27.766191°
W 48.960571°		 →
↑
270.26 m
↓
↑
270.26 m
↓
N 27.763760°
W 48.963318°		 ← 270.26 m →
73 040 m²		 N 27.763760°
W 48.960571°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363994598388672 y=0.419666290283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363994598388672 × 217)
    floor (0.363994598388672 × 131072)
    floor (47709.5)     		tx = 47709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419666290283203 × 217)
    floor (0.419666290283203 × 131072)
    floor (55006.5)     		ty = 55006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47709 / 55006 ti = "17/47709/55006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47709/55006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47709 ÷ 217
    47709 ÷ 131072     		x = 0.363990783691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55006 ÷ 217
    55006 ÷ 131072     		y = 0.419662475585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.363990783691406 × 2 - 1) × π
    -0.272018432617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.85457111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419662475585938 × 2 - 1) × π
    0.160675048828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.504775552999191
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85457111} λ = -0.85457111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.504775552999191))-π/2
    2×atan(1.65661365676381)-π/2
    2×1.02770388711412-π/2
    2.05540777422823-1.57079632675     		φ = 0.48461145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85457111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.963318°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48461145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.766191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47709 KachelY 55006 -0.85457111 0.48461145 -48.963318 27.766191
    Oben rechts KachelX + 1 47710 KachelY 55006 -0.85452317 0.48461145 -48.960571 27.766191
    Unten links KachelX 47709 KachelY + 1 55007 -0.85457111 0.48456903 -48.963318 27.763760
    Unten rechts KachelX + 1 47710 KachelY + 1 55007 -0.85452317 0.48456903 -48.960571 27.763760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48461145-0.48456903) × R
    4.24199999999875e-05 × 6371000     		dl = 270.25781999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48461145-0.48456903) × R
    4.24199999999875e-05 × 6371000     		dr = 270.25781999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85457111--0.85452317) × cos(0.48461145) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.884856027581859 × 6371000     		do = 270.257807017472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85457111--0.85452317) × cos(0.48456903) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.884875788761368 × 6371000     		du = 270.263842590347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48461145)-sin(0.48456903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884856027581859-0.884875788761368)×R²
    abs(-0.85452317--0.85457111)×1.97611795095254e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97611795095254e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97611795095254e-05×40589641000000     		ar = 73040.1013538498m²