Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47707 / 54953
↖ ↑ ↗
← N 27.894922°
W 48.968811°		 ← 269.88 m → N 27.894922°
W 48.966065°		 →
↑
269.94 m
↓
↑
269.94 m
↓
N 27.892494°
W 48.968811°		 ← 269.89 m →
72 852 m²		 N 27.892494°
W 48.966065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54953 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363979339599609 y=0.419261932373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363979339599609 × 217)
    floor (0.363979339599609 × 131072)
    floor (47707.5)     		tx = 47707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419261932373047 × 217)
    floor (0.419261932373047 × 131072)
    floor (54953.5)     		ty = 54953
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47707 / 54953 ti = "17/47707/54953"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47707/54953.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47707 ÷ 217
    47707 ÷ 131072     		x = 0.363975524902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54953 ÷ 217
    54953 ÷ 131072     		y = 0.419258117675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.363975524902344 × 2 - 1) × π
    -0.272048950195312 × 3.1415926535     		Λ = -0.85466698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419258117675781 × 2 - 1) × π
    0.161483764648438 × 3.1415926535     		Φ = 0.507316208679054
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85466698} λ = -0.85466698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.507316208679054))-π/2
    2×atan(1.66082789285475)-π/2
    2×1.02882727846082-π/2
    2.05765455692165-1.57079632675     		φ = 0.48685823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85466698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.968811°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48685823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.894922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47707 KachelY 54953 -0.85466698 0.48685823 -48.968811 27.894922
    Oben rechts KachelX + 1 47708 KachelY 54953 -0.85461905 0.48685823 -48.966065 27.894922
    Unten links KachelX 47707 KachelY + 1 54954 -0.85466698 0.48681586 -48.968811 27.892494
    Unten rechts KachelX + 1 47708 KachelY + 1 54954 -0.85461905 0.48681586 -48.966065 27.892494
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48685823-0.48681586) × R
    4.23700000000138e-05 × 6371000     		dl = 269.939270000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48685823-0.48681586) × R
    4.23700000000138e-05 × 6371000     		dr = 269.939270000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85466698--0.85461905) × cos(0.48685823) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.883807099848175 × 6371000     		do = 269.881130137591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85466698--0.85461905) × cos(0.48681586) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.883826921922196 × 6371000     		du = 269.887183046353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48685823)-sin(0.48681586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883807099848175-0.883826921922196)×R²
    abs(-0.85461905--0.85466698)×1.98220740211807e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.98220740211807e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.98220740211807e-05×40589641000000     		ar = 72852.3322259104m²