Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47706 / 55010
↖ ↑ ↗
← N 27.756469°
W 48.971558°		 ← 270.28 m → N 27.756469°
W 48.968811°		 →
↑
270.26 m
↓
↑
270.26 m
↓
N 27.754038°
W 48.971558°		 ← 270.29 m →
73 047 m²		 N 27.754038°
W 48.968811°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363971710205078 y=0.419696807861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363971710205078 × 217)
    floor (0.363971710205078 × 131072)
    floor (47706.5)     		tx = 47706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419696807861328 × 217)
    floor (0.419696807861328 × 131072)
    floor (55010.5)     		ty = 55010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47706 / 55010 ti = "17/47706/55010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47706/55010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47706 ÷ 217
    47706 ÷ 131072     		x = 0.363967895507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55010 ÷ 217
    55010 ÷ 131072     		y = 0.419692993164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.363967895507812 × 2 - 1) × π
    -0.272064208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85471492
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419692993164062 × 2 - 1) × π
    0.160614013671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.504583805400711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85471492} λ = -0.85471492}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.504583805400711))-π/2
    2×atan(1.65629603552604)-π/2
    2×1.02761904881608-π/2
    2.05523809763217-1.57079632675     		φ = 0.48444177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85471492} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.971558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48444177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.756469°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47706 KachelY 55010 -0.85471492 0.48444177 -48.971558 27.756469
    Oben rechts KachelX + 1 47707 KachelY 55010 -0.85466698 0.48444177 -48.968811 27.756469
    Unten links KachelX 47706 KachelY + 1 55011 -0.85471492 0.48439935 -48.971558 27.754038
    Unten rechts KachelX + 1 47707 KachelY + 1 55011 -0.85466698 0.48439935 -48.968811 27.754038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48444177-0.48439935) × R
    4.24199999999875e-05 × 6371000     		dl = 270.25781999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48444177-0.48439935) × R
    4.24199999999875e-05 × 6371000     		dr = 270.25781999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85471492--0.85466698) × cos(0.48444177) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.884935062745982 × 6371000     		do = 270.281946391587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85471492--0.85466698) × cos(0.48439935) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.884954817556097 × 6371000     		du = 270.287980019085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48444177)-sin(0.48439935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884935062745982-0.884954817556097)×R²
    abs(-0.85466698--0.85471492)×1.9754810114514e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.9754810114514e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.9754810114514e-05×40589641000000     		ar = 73046.6249456255m²