Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47706 / 54997
↖ ↑ ↗
← N 27.788061°
W 48.971558°		 ← 270.20 m → N 27.788061°
W 48.968811°		 →
↑
270.13 m
↓
↑
270.13 m
↓
N 27.785632°
W 48.971558°		 ← 270.21 m →
72 991 m²		 N 27.785632°
W 48.968811°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363971710205078 y=0.419597625732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363971710205078 × 217)
    floor (0.363971710205078 × 131072)
    floor (47706.5)     		tx = 47706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419597625732422 × 217)
    floor (0.419597625732422 × 131072)
    floor (54997.5)     		ty = 54997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47706 / 54997 ti = "17/47706/54997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47706/54997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47706 ÷ 217
    47706 ÷ 131072     		x = 0.363967895507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54997 ÷ 217
    54997 ÷ 131072     		y = 0.419593811035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.363967895507812 × 2 - 1) × π
    -0.272064208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85471492
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419593811035156 × 2 - 1) × π
    0.160812377929688 × 3.1415926535     		Φ = 0.505206985095772
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85471492} λ = -0.85471492}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.505206985095772))-π/2
    2×atan(1.65732852726492)-π/2
    2×1.02789474557445-π/2
    2.0557894911489-1.57079632675     		φ = 0.48499316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85471492} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.971558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48499316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.788061°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47706 KachelY 54997 -0.85471492 0.48499316 -48.971558 27.788061
    Oben rechts KachelX + 1 47707 KachelY 54997 -0.85466698 0.48499316 -48.968811 27.788061
    Unten links KachelX 47706 KachelY + 1 54998 -0.85471492 0.48495076 -48.971558 27.785632
    Unten rechts KachelX + 1 47707 KachelY + 1 54998 -0.85466698 0.48495076 -48.968811 27.785632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48499316-0.48495076) × R
    4.2399999999998e-05 × 6371000     		dl = 270.130399999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48499316-0.48495076) × R
    4.2399999999998e-05 × 6371000     		dr = 270.130399999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85471492--0.85466698) × cos(0.48499316) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.884678137953012 × 6371000     		do = 270.203474946569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85471492--0.85466698) × cos(0.48495076) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.884697904135657 × 6371000     		du = 270.209512047531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48499316)-sin(0.48495076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884678137953012-0.884697904135657)×R²
    abs(-0.85466698--0.85471492)×1.97661826448758e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.97661826448758e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.97661826448758e-05×40589641000000     		ar = 72990.9881818995m²