Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47704 / 55001
↖ ↑ ↗
← N 27.778342°
W 48.977051°		 ← 270.17 m → N 27.778342°
W 48.974304°		 →
↑
270.19 m
↓
↑
270.19 m
↓
N 27.775912°
W 48.977051°		 ← 270.18 m →
72 999 m²		 N 27.775912°
W 48.974304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363956451416016 y=0.419628143310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363956451416016 × 217)
    floor (0.363956451416016 × 131072)
    floor (47704.5)     		tx = 47704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419628143310547 × 217)
    floor (0.419628143310547 × 131072)
    floor (55001.5)     		ty = 55001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47704 / 55001 ti = "17/47704/55001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47704/55001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47704 ÷ 217
    47704 ÷ 131072     		x = 0.36395263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55001 ÷ 217
    55001 ÷ 131072     		y = 0.419624328613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36395263671875 × 2 - 1) × π
    -0.2720947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.85481079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419624328613281 × 2 - 1) × π
    0.160751342773438 × 3.1415926535     		Φ = 0.505015237497292
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85481079} λ = -0.85481079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.505015237497292))-π/2
    2×atan(1.65701076896559)-π/2
    2×1.0278099243297-π/2
    2.0556198486594-1.57079632675     		φ = 0.48482352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85481079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.977051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48482352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.778342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47704 KachelY 55001 -0.85481079 0.48482352 -48.977051 27.778342
    Oben rechts KachelX + 1 47705 KachelY 55001 -0.85476286 0.48482352 -48.974304 27.778342
    Unten links KachelX 47704 KachelY + 1 55002 -0.85481079 0.48478111 -48.977051 27.775912
    Unten rechts KachelX + 1 47705 KachelY + 1 55002 -0.85476286 0.48478111 -48.974304 27.775912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48482352-0.48478111) × R
    4.24099999999927e-05 × 6371000     		dl = 270.194109999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48482352-0.48478111) × R
    4.24099999999927e-05 × 6371000     		dr = 270.194109999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85481079--0.85476286) × cos(0.48482352) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.884757211782692 × 6371000     		do = 270.171258247268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85481079--0.85476286) × cos(0.48478111) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.884776976261872 × 6371000     		du = 270.177293568752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48482352)-sin(0.48478111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884757211782692-0.884776976261872)×R²
    abs(-0.85476286--0.85481079)×1.97644791801732e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.97644791801732e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.97644791801732e-05×40589641000000     		ar = 72999.4980347181m²