Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47702 / 54998
↖ ↑ ↗
← N 27.785632°
W 48.982544°		 ← 270.21 m → N 27.785632°
W 48.979797°		 →
↑
270.19 m
↓
↑
270.19 m
↓
N 27.783202°
W 48.982544°		 ← 270.22 m →
73 010 m²		 N 27.783202°
W 48.979797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363941192626953 y=0.419605255126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363941192626953 × 217)
    floor (0.363941192626953 × 131072)
    floor (47702.5)     		tx = 47702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419605255126953 × 217)
    floor (0.419605255126953 × 131072)
    floor (54998.5)     		ty = 54998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47702 / 54998 ti = "17/47702/54998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47702/54998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47702 ÷ 217
    47702 ÷ 131072     		x = 0.363937377929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54998 ÷ 217
    54998 ÷ 131072     		y = 0.419601440429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.363937377929688 × 2 - 1) × π
    -0.272125244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.85490667
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419601440429688 × 2 - 1) × π
    0.160797119140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.505159048196152
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85490667} λ = -0.85490667}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.505159048196152))-π/2
    2×atan(1.65724908197787)-π/2
    2×1.02787354097402-π/2
    2.05574708194803-1.57079632675     		φ = 0.48495076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85490667} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.982544°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48495076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.785632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47702 KachelY 54998 -0.85490667 0.48495076 -48.982544 27.785632
    Oben rechts KachelX + 1 47703 KachelY 54998 -0.85485873 0.48495076 -48.979797 27.785632
    Unten links KachelX 47702 KachelY + 1 54999 -0.85490667 0.48490835 -48.982544 27.783202
    Unten rechts KachelX + 1 47703 KachelY + 1 54999 -0.85485873 0.48490835 -48.979797 27.783202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48495076-0.48490835) × R
    4.24099999999927e-05 × 6371000     		dl = 270.194109999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48495076-0.48490835) × R
    4.24099999999927e-05 × 6371000     		dr = 270.194109999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85490667--0.85485873) × cos(0.48495076) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.884697904135657 × 6371000     		do = 270.209512046905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85490667--0.85485873) × cos(0.48490835) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.8847176733891 × 6371000     		du = 270.215550085767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48495076)-sin(0.48490835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884697904135657-0.8847176733891)×R²
    abs(-0.85485873--0.85490667)×1.97692534431582e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97692534431582e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97692534431582e-05×40589641000000     		ar = 73009.8343533408m²