Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47700 / 54996
↖ ↑ ↗
← N 27.790491°
W 48.988037°		 ← 270.20 m → N 27.790491°
W 48.985290°		 →
↑
270.19 m
↓
↑
270.19 m
↓
N 27.788061°
W 48.988037°		 ← 270.20 m →
73 007 m²		 N 27.788061°
W 48.985290°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363925933837891 y=0.419589996337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363925933837891 × 217)
    floor (0.363925933837891 × 131072)
    floor (47700.5)     		tx = 47700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419589996337891 × 217)
    floor (0.419589996337891 × 131072)
    floor (54996.5)     		ty = 54996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47700 / 54996 ti = "17/47700/54996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47700/54996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47700 ÷ 217
    47700 ÷ 131072     		x = 0.363922119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54996 ÷ 217
    54996 ÷ 131072     		y = 0.419586181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.363922119140625 × 2 - 1) × π
    -0.27215576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.85500254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419586181640625 × 2 - 1) × π
    0.16082763671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.505254921995392
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85500254} λ = -0.85500254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.505254921995392))-π/2
    2×atan(1.65740797636042)-π/2
    2×1.02791594970101-π/2
    2.05583189940201-1.57079632675     		φ = 0.48503557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85500254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.988037°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48503557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.790491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47700 KachelY 54996 -0.85500254 0.48503557 -48.988037 27.790491
    Oben rechts KachelX + 1 47701 KachelY 54996 -0.85495460 0.48503557 -48.985290 27.790491
    Unten links KachelX 47700 KachelY + 1 54997 -0.85500254 0.48499316 -48.988037 27.788061
    Unten rechts KachelX + 1 47701 KachelY + 1 54997 -0.85495460 0.48499316 -48.985290 27.788061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48503557-0.48499316) × R
    4.24100000000482e-05 × 6371000     		dl = 270.194110000307m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48503557-0.48499316) × R
    4.24100000000482e-05 × 6371000     		dr = 270.194110000307m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85500254--0.85495460) × cos(0.48503557) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.88465836551753 × 6371000     		do = 270.197435935205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85500254--0.85495460) × cos(0.48499316) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.884678137953012 × 6371000     		du = 270.203474945944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48503557)-sin(0.48499316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88465836551753-0.884678137953012)×R²
    abs(-0.85495460--0.85500254)×1.97724354820128e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97724354820128e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97724354820128e-05×40589641000000     		ar = 73006.5715903502m²