Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47700 / 54940
↖ ↑ ↗
← N 27.926474°
W 48.988037°		 ← 269.86 m → N 27.926474°
W 48.985290°		 →
↑
269.81 m
↓
↑
269.81 m
↓
N 27.924048°
W 48.988037°		 ← 269.86 m →
72 812 m²		 N 27.924048°
W 48.985290°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363925933837891 y=0.419162750244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363925933837891 × 217)
    floor (0.363925933837891 × 131072)
    floor (47700.5)     		tx = 47700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419162750244141 × 217)
    floor (0.419162750244141 × 131072)
    floor (54940.5)     		ty = 54940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47700 / 54940 ti = "17/47700/54940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47700/54940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47700 ÷ 217
    47700 ÷ 131072     		x = 0.363922119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54940 ÷ 217
    54940 ÷ 131072     		y = 0.419158935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.363922119140625 × 2 - 1) × π
    -0.27215576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.85500254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419158935546875 × 2 - 1) × π
    0.16168212890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.507939388374115
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85500254} λ = -0.85500254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.507939388374115))-π/2
    2×atan(1.66186320963526)-π/2
    2×1.02910262362522-π/2
    2.05820524725044-1.57079632675     		φ = 0.48740892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85500254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.988037°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48740892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.926474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47700 KachelY 54940 -0.85500254 0.48740892 -48.988037 27.926474
    Oben rechts KachelX + 1 47701 KachelY 54940 -0.85495460 0.48740892 -48.985290 27.926474
    Unten links KachelX 47700 KachelY + 1 54941 -0.85500254 0.48736657 -48.988037 27.924048
    Unten rechts KachelX + 1 47701 KachelY + 1 54941 -0.85495460 0.48736657 -48.985290 27.924048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48740892-0.48736657) × R
    4.23500000000243e-05 × 6371000     		dl = 269.811850000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48740892-0.48736657) × R
    4.23500000000243e-05 × 6371000     		dr = 269.811850000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85500254--0.85495460) × cos(0.48740892) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.883549324716522 × 6371000     		do = 269.858706327867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85500254--0.85495460) × cos(0.48736657) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.883569158043391 × 6371000     		du = 269.864763936403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48740892)-sin(0.48736657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883549324716522-0.883569158043391)×R²
    abs(-0.85495460--0.85500254)×1.98333268690565e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.98333268690565e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.98333268690565e-05×40589641000000     		ar = 72811.8940110771m²