Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4770 / 3683
↖ ↑ ↗
← N 17.853290°
E 29.619141°		 ← 4 651.18 m → N 17.853290°
E 29.663086°		 →
↑
4 651.72 m
↓
↑
4 651.72 m
↓
N 17.811456°
E 29.619141°		 ← 4 652.28 m →
21 638 550 m²		 N 17.811456°
E 29.663086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58233642578125 y=0.44964599609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58233642578125 × 213)
    floor (0.58233642578125 × 8192)
    floor (4770.5)     		tx = 4770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.44964599609375 × 213)
    floor (0.44964599609375 × 8192)
    floor (3683.5)     		ty = 3683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4770 / 3683 ti = "13/4770/3683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4770/3683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4770 ÷ 213
    4770 ÷ 8192     		x = 0.582275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3683 ÷ 213
    3683 ÷ 8192     		y = 0.4495849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582275390625 × 2 - 1) × π
    0.16455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51695153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4495849609375 × 2 - 1) × π
    0.100830078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.316767032689331
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51695153} λ = 0.51695153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.316767032689331))-π/2
    2×atan(1.37268274446485)-π/2
    2×0.941197510795521-π/2
    1.88239502159104-1.57079632675     		φ = 0.31159869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51695153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.619141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31159869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.853290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4770 KachelY 3683 0.51695153 0.31159869 29.619141 17.853290
    Oben rechts KachelX + 1 4771 KachelY 3683 0.51771852 0.31159869 29.663086 17.853290
    Unten links KachelX 4770 KachelY + 1 3684 0.51695153 0.31086855 29.619141 17.811456
    Unten rechts KachelX + 1 4771 KachelY + 1 3684 0.51771852 0.31086855 29.663086 17.811456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31159869-0.31086855) × R
    0.00073013999999999 × 6371000     		dl = 4651.72193999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31159869-0.31086855) × R
    0.00073013999999999 × 6371000     		dr = 4651.72193999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51695153-0.51771852) × cos(0.31159869) × R
    0.000766989999999912 × 0.951844658910524 × 6371000     		do = 4651.18253888808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51695153-0.51771852) × cos(0.31086855) × R
    0.000766989999999912 × 0.952068252030094 × 6371000     		du = 4652.27512516655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31159869)-sin(0.31086855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951844658910524-0.952068252030094)×R²
    abs(0.51771852-0.51695153)×0.000223593119570764×R²
    0.000766989999999912×0.000223593119570764×6371000²
    0.000766989999999912×0.000223593119570764×40589641000000     		ar = 21638550.0281722m²