Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 4770 / 3679
↖ ↑ ↗
← N 79.999076°
W127.595215°		 ← 212.15 m → N 79.999076°
W127.584228°		 →
↑
212.15 m
↓
↑
212.15 m
↓
N 79.997168°
W127.595215°		 ← 212.19 m →
45 014 m²		 N 79.997168°
W127.584228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145584106445312 y=0.112289428710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145584106445312 × 215)
    floor (0.145584106445312 × 32768)
    floor (4770.5)     		tx = 4770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112289428710938 × 215)
    floor (0.112289428710938 × 32768)
    floor (3679.5)     		ty = 3679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4770 / 3679 ti = "15/4770/3679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4770/3679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4770 ÷ 215
    4770 ÷ 32768     		x = 0.14556884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3679 ÷ 215
    3679 ÷ 32768     		y = 0.112274169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14556884765625 × 2 - 1) × π
    -0.7088623046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.22695661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112274169921875 × 2 - 1) × π
    0.77545166015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.43615323869125
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22695661} λ = -2.22695661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43615323869125))-π/2
    2×atan(11.4289914714067)-π/2
    2×1.48352180524693-π/2
    2.96704361049386-1.57079632675     		φ = 1.39624728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22695661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.595215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39624728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.999076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4770 KachelY 3679 -2.22695661 1.39624728 -127.595215 79.999076
    Oben rechts KachelX + 1 4771 KachelY 3679 -2.22676486 1.39624728 -127.584228 79.999076
    Unten links KachelX 4770 KachelY + 1 3680 -2.22695661 1.39621398 -127.595215 79.997168
    Unten rechts KachelX + 1 4771 KachelY + 1 3680 -2.22676486 1.39621398 -127.584228 79.997168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39624728-1.39621398) × R
    3.33000000001249e-05 × 6371000     		dl = 212.154300000796m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39624728-1.39621398) × R
    3.33000000001249e-05 × 6371000     		dr = 212.154300000796m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22695661--2.22676486) × cos(1.39624728) × R
    0.000191749999999935 × 0.173664054316567 × 6371000     		do = 212.154825067178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22695661--2.22676486) × cos(1.39621398) × R
    0.000191749999999935 × 0.173696848225222 × 6371000     		du = 212.194887393152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39624728)-sin(1.39621398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173664054316567-0.173696848225222)×R²
    abs(-2.22676486--2.22695661)×3.27939086550433e-05×R²
    0.000191749999999935×3.27939086550433e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.27939086550433e-05×40589641000000     		ar = 45013.8081057478m²