Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4770 / 3670
↖ ↑ ↗
← N 18.396230°
E 29.619141°		 ← 4 636.78 m → N 18.396230°
E 29.663086°		 →
↑
4 637.39 m
↓
↑
4 637.39 m
↓
N 18.354525°
E 29.619141°		 ← 4 637.90 m →
21 505 134 m²		 N 18.354525°
E 29.663086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58233642578125 y=0.44805908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58233642578125 × 213)
    floor (0.58233642578125 × 8192)
    floor (4770.5)     		tx = 4770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.44805908203125 × 213)
    floor (0.44805908203125 × 8192)
    floor (3670.5)     		ty = 3670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4770 / 3670 ti = "13/4770/3670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4770/3670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4770 ÷ 213
    4770 ÷ 8192     		x = 0.582275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3670 ÷ 213
    3670 ÷ 8192     		y = 0.447998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582275390625 × 2 - 1) × π
    0.16455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51695153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447998046875 × 2 - 1) × π
    0.10400390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.326737907810303
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51695153} λ = 0.51695153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.326737907810303))-π/2
    2×atan(1.38643805497161)-π/2
    2×0.945935556324624-π/2
    1.89187111264925-1.57079632675     		φ = 0.32107479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51695153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.619141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32107479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.396230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4770 KachelY 3670 0.51695153 0.32107479 29.619141 18.396230
    Oben rechts KachelX + 1 4771 KachelY 3670 0.51771852 0.32107479 29.663086 18.396230
    Unten links KachelX 4770 KachelY + 1 3671 0.51695153 0.32034690 29.619141 18.354525
    Unten rechts KachelX + 1 4771 KachelY + 1 3671 0.51771852 0.32034690 29.663086 18.354525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32107479-0.32034690) × R
    0.000727890000000009 × 6371000     		dl = 4637.38719000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32107479-0.32034690) × R
    0.000727890000000009 × 6371000     		dr = 4637.38719000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51695153-0.51771852) × cos(0.32107479) × R
    0.000766989999999912 × 0.948896776888081 × 6371000     		do = 4636.7777331657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51695153-0.51771852) × cos(0.32034690) × R
    0.000766989999999912 × 0.949126237829442 × 6371000     		du = 4637.89899251598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32107479)-sin(0.32034690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948896776888081-0.949126237829442)×R²
    abs(0.51771852-0.51695153)×0.00022946094136167×R²
    0.000766989999999912×0.00022946094136167×6371000²
    0.000766989999999912×0.00022946094136167×40589641000000     		ar = 21505134.4690284m²