Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4770 / 3214
↖ ↑ ↗
← N 80.848397°
W127.595215°		 ← 194.30 m → N 80.848397°
W127.584228°		 →
↑
194.32 m
↓
↑
194.32 m
↓
N 80.846649°
W127.595215°		 ← 194.34 m →
37 759 m²		 N 80.846649°
W127.584228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145584106445312 y=0.0980987548828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145584106445312 × 215)
    floor (0.145584106445312 × 32768)
    floor (4770.5)     		tx = 4770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0980987548828125 × 215)
    floor (0.0980987548828125 × 32768)
    floor (3214.5)     		ty = 3214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4770 / 3214 ti = "15/4770/3214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4770/3214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4770 ÷ 215
    4770 ÷ 32768     		x = 0.14556884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3214 ÷ 215
    3214 ÷ 32768     		y = 0.09808349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14556884765625 × 2 - 1) × π
    -0.7088623046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.22695661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09808349609375 × 2 - 1) × π
    0.8038330078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.52531587198456
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22695661} λ = -2.22695661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52531587198456))-π/2
    2×atan(12.4948414106885)-π/2
    2×1.49093352260557-π/2
    2.98186704521113-1.57079632675     		φ = 1.41107072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22695661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.595215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41107072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.848397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4770 KachelY 3214 -2.22695661 1.41107072 -127.595215 80.848397
    Oben rechts KachelX + 1 4771 KachelY 3214 -2.22676486 1.41107072 -127.584228 80.848397
    Unten links KachelX 4770 KachelY + 1 3215 -2.22695661 1.41104022 -127.595215 80.846649
    Unten rechts KachelX + 1 4771 KachelY + 1 3215 -2.22676486 1.41104022 -127.584228 80.846649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41107072-1.41104022) × R
    3.04999999998223e-05 × 6371000     		dl = 194.315499998868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41107072-1.41104022) × R
    3.04999999998223e-05 × 6371000     		dr = 194.315499998868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22695661--2.22676486) × cos(1.41107072) × R
    0.000191749999999935 × 0.159047312161531 × 6371000     		do = 194.298439143462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22695661--2.22676486) × cos(1.41104022) × R
    0.000191749999999935 × 0.159077423851891 × 6371000     		du = 194.335224766291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41107072)-sin(1.41104022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159047312161531-0.159077423851891)×R²
    abs(-2.22676486--2.22695661)×3.01116903606014e-05×R²
    0.000191749999999935×3.01116903606014e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.01116903606014e-05×40589641000000     		ar = 37758.7723629204m²