Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 477 / 666
↖ ↑ ↗
← N 76.310357°
W138.076172°		 ← 2 312.90 m → N 76.310357°
W137.988281°		 →
↑
2 314.58 m
↓
↑
2 314.58 m
↓
N 76.289542°
W138.076172°		 ← 2 316.35 m →
5 357 393 m²		 N 76.289542°
W137.988281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1165771484375 y=0.1627197265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1165771484375 × 212)
    floor (0.1165771484375 × 4096)
    floor (477.5)     		tx = 477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1627197265625 × 212)
    floor (0.1627197265625 × 4096)
    floor (666.5)     		ty = 666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 477 / 666 ti = "12/477/666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/477/666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 477 ÷ 212
    477 ÷ 4096     		x = 0.116455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 666 ÷ 212
    666 ÷ 4096     		y = 0.16259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.116455078125 × 2 - 1) × π
    -0.76708984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.40988382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16259765625 × 2 - 1) × π
    0.6748046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.11996144879736
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.40988382} λ = -2.40988382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11996144879736))-π/2
    2×atan(8.33081631850898)-π/2
    2×1.45133165964015-π/2
    2.9026633192803-1.57079632675     		φ = 1.33186699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.40988382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.076172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33186699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.310357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 477 KachelY 666 -2.40988382 1.33186699 -138.076172 76.310357
    Oben rechts KachelX + 1 478 KachelY 666 -2.40834984 1.33186699 -137.988281 76.310357
    Unten links KachelX 477 KachelY + 1 667 -2.40988382 1.33150369 -138.076172 76.289542
    Unten rechts KachelX + 1 478 KachelY + 1 667 -2.40834984 1.33150369 -137.988281 76.289542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33186699-1.33150369) × R
    0.000363300000000066 × 6371000     		dl = 2314.58430000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33186699-1.33150369) × R
    0.000363300000000066 × 6371000     		dr = 2314.58430000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.40988382--2.40834984) × cos(1.33186699) × R
    0.00153398000000005 × 0.236662514554843 × 6371000     		do = 2312.89957873361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.40988382--2.40834984) × cos(1.33150369) × R
    0.00153398000000005 × 0.237015478272542 × 6371000     		du = 2316.3490884099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33186699)-sin(1.33150369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.236662514554843-0.237015478272542)×R²
    abs(-2.40834984--2.40988382)×0.000352963717698523×R²
    0.00153398000000005×0.000352963717698523×6371000²
    0.00153398000000005×0.000352963717698523×40589641000000     		ar = 5357393.20181124m²