Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47699 / 54962
↖ ↑ ↗
← N 27.873073°
W 48.990784°		 ← 269.99 m → N 27.873073°
W 48.988037°		 →
↑
270 m
↓
↑
270 m
↓
N 27.870644°
W 48.990784°		 ← 270 m →
72 899 m²		 N 27.870644°
W 48.988037°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363918304443359 y=0.419330596923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363918304443359 × 217)
    floor (0.363918304443359 × 131072)
    floor (47699.5)     		tx = 47699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419330596923828 × 217)
    floor (0.419330596923828 × 131072)
    floor (54962.5)     		ty = 54962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47699 / 54962 ti = "17/47699/54962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47699/54962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47699 ÷ 217
    47699 ÷ 131072     		x = 0.363914489746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54962 ÷ 217
    54962 ÷ 131072     		y = 0.419326782226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.363914489746094 × 2 - 1) × π
    -0.272171020507812 × 3.1415926535     		Λ = -0.85505048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419326782226562 × 2 - 1) × π
    0.161346435546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.506884776582474
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85505048} λ = -0.85505048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.506884776582474))-π/2
    2×atan(1.66011151294063)-π/2
    2×1.02863660784801-π/2
    2.05727321569602-1.57079632675     		φ = 0.48647689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85505048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.990784°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48647689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.873073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47699 KachelY 54962 -0.85505048 0.48647689 -48.990784 27.873073
    Oben rechts KachelX + 1 47700 KachelY 54962 -0.85500254 0.48647689 -48.988037 27.873073
    Unten links KachelX 47699 KachelY + 1 54963 -0.85505048 0.48643451 -48.990784 27.870644
    Unten rechts KachelX + 1 47700 KachelY + 1 54963 -0.85500254 0.48643451 -48.988037 27.870644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48647689-0.48643451) × R
    4.23800000000085e-05 × 6371000     		dl = 270.002980000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48647689-0.48643451) × R
    4.23800000000085e-05 × 6371000     		dr = 270.002980000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85505048--0.85500254) × cos(0.48647689) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.883985446066724 × 6371000     		do = 269.991909013982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85505048--0.85500254) × cos(0.48643451) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.88400525853391 × 6371000     		du = 269.997960251434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48647689)-sin(0.48643451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883985446066724-0.88400525853391)×R²
    abs(-0.85500254--0.85505048)×1.98124671862976e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.98124671862976e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.98124671862976e-05×40589641000000     		ar = 72899.4369466398m²