Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47696 / 54960
↖ ↑ ↗
← N 27.877928°
W 48.999023°		 ← 269.98 m → N 27.877928°
W 48.996277°		 →
↑
270 m
↓
↑
270 m
↓
N 27.875500°
W 48.999023°		 ← 269.99 m →
72 896 m²		 N 27.875500°
W 48.996277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363895416259766 y=0.419315338134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363895416259766 × 217)
    floor (0.363895416259766 × 131072)
    floor (47696.5)     		tx = 47696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419315338134766 × 217)
    floor (0.419315338134766 × 131072)
    floor (54960.5)     		ty = 54960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47696 / 54960 ti = "17/47696/54960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47696/54960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47696 ÷ 217
    47696 ÷ 131072     		x = 0.3638916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54960 ÷ 217
    54960 ÷ 131072     		y = 0.4193115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3638916015625 × 2 - 1) × π
    -0.272216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.85519429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4193115234375 × 2 - 1) × π
    0.161376953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.506980650381714
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85519429} λ = -0.85519429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.506980650381714))-π/2
    2×atan(1.66027068176848)-π/2
    2×1.02867898241991-π/2
    2.05735796483981-1.57079632675     		φ = 0.48656164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85519429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.999023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48656164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.877928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47696 KachelY 54960 -0.85519429 0.48656164 -48.999023 27.877928
    Oben rechts KachelX + 1 47697 KachelY 54960 -0.85514635 0.48656164 -48.996277 27.877928
    Unten links KachelX 47696 KachelY + 1 54961 -0.85519429 0.48651926 -48.999023 27.875500
    Unten rechts KachelX + 1 47697 KachelY + 1 54961 -0.85514635 0.48651926 -48.996277 27.875500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48656164-0.48651926) × R
    4.23800000000085e-05 × 6371000     		dl = 270.002980000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48656164-0.48651926) × R
    4.23800000000085e-05 × 6371000     		dr = 270.002980000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85519429--0.85514635) × cos(0.48656164) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.883945821045196 × 6371000     		do = 269.97980651246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85519429--0.85514635) × cos(0.48651926) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.883965636687362 × 6371000     		du = 269.985858719632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48656164)-sin(0.48651926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883945821045196-0.883965636687362)×R²
    abs(-0.85514635--0.85519429)×1.98156421655771e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.98156421655771e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.98156421655771e-05×40589641000000     		ar = 72896.169366184m²