Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 47695 / 55003
↖ ↑ ↗
← N 27.773481°
W 49.001770°		 ← 270.24 m → N 27.773481°
W 48.999023°		 →
↑
270.19 m
↓
↑
270.19 m
↓
N 27.771051°
W 49.001770°		 ← 270.25 m →
73 018 m²		 N 27.771051°
W 48.999023°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363887786865234 y=0.419643402099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363887786865234 × 217)
    floor (0.363887786865234 × 131072)
    floor (47695.5)     		tx = 47695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419643402099609 × 217)
    floor (0.419643402099609 × 131072)
    floor (55003.5)     		ty = 55003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47695 / 55003 ti = "17/47695/55003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47695/55003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47695 ÷ 217
    47695 ÷ 131072     		x = 0.363883972167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55003 ÷ 217
    55003 ÷ 131072     		y = 0.419639587402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.363883972167969 × 2 - 1) × π
    -0.272232055664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.85524223
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419639587402344 × 2 - 1) × π
    0.160720825195312 × 3.1415926535     		Φ = 0.504919363698051
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85524223} λ = -0.85524223}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.504919363698051))-π/2
    2×atan(1.65685191266299)-π/2
    2×1.02776751086459-π/2
    2.05553502172917-1.57079632675     		φ = 0.48473869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85524223} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.001770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48473869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.773481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47695 KachelY 55003 -0.85524223 0.48473869 -49.001770 27.773481
    Oben rechts KachelX + 1 47696 KachelY 55003 -0.85519429 0.48473869 -48.999023 27.773481
    Unten links KachelX 47695 KachelY + 1 55004 -0.85524223 0.48469628 -49.001770 27.771051
    Unten rechts KachelX + 1 47696 KachelY + 1 55004 -0.85519429 0.48469628 -48.999023 27.771051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48473869-0.48469628) × R
    4.24100000000482e-05 × 6371000     		dl = 270.194110000307m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48473869-0.48469628) × R
    4.24100000000482e-05 × 6371000     		dr = 270.194110000307m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85524223--0.85519429) × cos(0.48473869) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.884796743809457 × 6371000     		do = 270.239700227417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85524223--0.85519429) × cos(0.48469628) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.884816505105492 × 6371000     		du = 270.245735835882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48473869)-sin(0.48469628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884796743809457-0.884816505105492)×R²
    abs(-0.85519429--0.85524223)×1.97612960353144e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97612960353144e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97612960353144e-05×40589641000000     		ar = 73017.990693564m²