Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 47692 / 54988
↖ ↑ ↗
← N 27.809928°
W 49.010010°		 ← 270.15 m → N 27.809928°
W 49.007263°		 →
↑
270.13 m
↓
↑
270.13 m
↓
N 27.807498°
W 49.010010°		 ← 270.16 m →
72 976 m²		 N 27.807498°
W 49.007263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363864898681641 y=0.419528961181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363864898681641 × 217)
    floor (0.363864898681641 × 131072)
    floor (47692.5)     		tx = 47692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419528961181641 × 217)
    floor (0.419528961181641 × 131072)
    floor (54988.5)     		ty = 54988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47692 / 54988 ti = "17/47692/54988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47692/54988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47692 ÷ 217
    47692 ÷ 131072     		x = 0.363861083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54988 ÷ 217
    54988 ÷ 131072     		y = 0.419525146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.363861083984375 × 2 - 1) × π
    -0.27227783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.85538604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419525146484375 × 2 - 1) × π
    0.16094970703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.505638417192352
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85538604} λ = -0.85538604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.505638417192352))-π/2
    2×atan(1.65804370625065)-π/2
    2×1.0280855656504-π/2
    2.0561711313008-1.57079632675     		φ = 0.48537480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85538604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.010010°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48537480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.809928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47692 KachelY 54988 -0.85538604 0.48537480 -49.010010 27.809928
    Oben rechts KachelX + 1 47693 KachelY 54988 -0.85533810 0.48537480 -49.007263 27.809928
    Unten links KachelX 47692 KachelY + 1 54989 -0.85538604 0.48533240 -49.010010 27.807498
    Unten rechts KachelX + 1 47693 KachelY + 1 54989 -0.85533810 0.48533240 -49.007263 27.807498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48537480-0.48533240) × R
    4.2399999999998e-05 × 6371000     		dl = 270.130399999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48537480-0.48533240) × R
    4.2399999999998e-05 × 6371000     		dr = 270.130399999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85538604--0.85533810) × cos(0.48537480) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.884500152082124 × 6371000     		do = 270.149113479618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85538604--0.85533810) × cos(0.48533240) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.88451993257894 × 6371000     		du = 270.155154952496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48537480)-sin(0.48533240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884500152082124-0.88451993257894)×R²
    abs(-0.85533810--0.85538604)×1.97804968161686e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97804968161686e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97804968161686e-05×40589641000000     		ar = 72976.3040875605m²