Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 47691 / 54987
↖ ↑ ↗
← N 27.812357°
W 49.012756°		 ← 270.09 m → N 27.812357°
W 49.010010°		 →
↑
270.13 m
↓
↑
270.13 m
↓
N 27.809928°
W 49.012756°		 ← 270.09 m →
72 959 m²		 N 27.809928°
W 49.010010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363857269287109 y=0.419521331787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363857269287109 × 217)
    floor (0.363857269287109 × 131072)
    floor (47691.5)     		tx = 47691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419521331787109 × 217)
    floor (0.419521331787109 × 131072)
    floor (54987.5)     		ty = 54987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47691 / 54987 ti = "17/47691/54987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47691/54987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47691 ÷ 217
    47691 ÷ 131072     		x = 0.363853454589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54987 ÷ 217
    54987 ÷ 131072     		y = 0.419517517089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.363853454589844 × 2 - 1) × π
    -0.272293090820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.85543397
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419517517089844 × 2 - 1) × π
    0.160964965820312 × 3.1415926535     		Φ = 0.505686354091972
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85543397} λ = -0.85543397}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.505686354091972))-π/2
    2×atan(1.65812318963044)-π/2
    2×1.02810676551079-π/2
    2.05621353102157-1.57079632675     		φ = 0.48541720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85543397} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.012756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48541720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.812357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47691 KachelY 54987 -0.85543397 0.48541720 -49.012756 27.812357
    Oben rechts KachelX + 1 47692 KachelY 54987 -0.85538604 0.48541720 -49.010010 27.812357
    Unten links KachelX 47691 KachelY + 1 54988 -0.85543397 0.48537480 -49.012756 27.809928
    Unten rechts KachelX + 1 47692 KachelY + 1 54988 -0.85538604 0.48537480 -49.010010 27.809928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48541720-0.48537480) × R
    4.2399999999998e-05 × 6371000     		dl = 270.130399999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48541720-0.48537480) × R
    4.2399999999998e-05 × 6371000     		dr = 270.130399999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85543397--0.85538604) × cos(0.48541720) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.884480369995189 × 6371000     		do = 270.086721277047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85543397--0.85538604) × cos(0.48537480) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.884500152082124 × 6371000     		du = 270.092761975272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48541720)-sin(0.48537480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884480369995189-0.884500152082124)×R²
    abs(-0.85538604--0.85543397)×1.9782086935094e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.9782086935094e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.9782086935094e-05×40589641000000     		ar = 72959.4499523327m²