Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 47690 / 54971
↖ ↑ ↗
← N 27.851219°
W 49.015503°		 ← 270.05 m → N 27.851219°
W 49.012756°		 →
↑
270 m
↓
↑
270 m
↓
N 27.848791°
W 49.015503°		 ← 270.05 m →
72 914 m²		 N 27.848791°
W 49.012756°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363849639892578 y=0.419399261474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363849639892578 × 217)
    floor (0.363849639892578 × 131072)
    floor (47690.5)     		tx = 47690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419399261474609 × 217)
    floor (0.419399261474609 × 131072)
    floor (54971.5)     		ty = 54971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47690 / 54971 ti = "17/47690/54971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47690/54971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47690 ÷ 217
    47690 ÷ 131072     		x = 0.363845825195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54971 ÷ 217
    54971 ÷ 131072     		y = 0.419395446777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.363845825195312 × 2 - 1) × π
    -0.272308349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85548191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419395446777344 × 2 - 1) × π
    0.161209106445312 × 3.1415926535     		Φ = 0.506453344485893
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85548191} λ = -0.85548191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.506453344485893))-π/2
    2×atan(1.65939544202914)-π/2
    2×1.02844589877292-π/2
    2.05689179754584-1.57079632675     		φ = 0.48609547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85548191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.015503°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48609547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.851219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47690 KachelY 54971 -0.85548191 0.48609547 -49.015503 27.851219
    Oben rechts KachelX + 1 47691 KachelY 54971 -0.85543397 0.48609547 -49.012756 27.851219
    Unten links KachelX 47690 KachelY + 1 54972 -0.85548191 0.48605309 -49.015503 27.848791
    Unten rechts KachelX + 1 47691 KachelY + 1 54972 -0.85543397 0.48605309 -49.012756 27.848791
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48609547-0.48605309) × R
    4.2379999999953e-05 × 6371000     		dl = 270.002979999701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48609547-0.48605309) × R
    4.2379999999953e-05 × 6371000     		dr = 270.002979999701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85548191--0.85543397) × cos(0.48609547) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.884163701110118 × 6371000     		do = 270.04635269252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85548191--0.85543397) × cos(0.48605309) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.88418349928645 × 6371000     		du = 270.052399565176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48609547)-sin(0.48605309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884163701110118-0.88418349928645)×R²
    abs(-0.85543397--0.85548191)×1.97981763322419e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97981763322419e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97981763322419e-05×40589641000000     		ar = 72914.1363127331m²