Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4769 / 3747
↖ ↑ ↗
← N 15.156974°
E 29.575196°		 ← 4 716.51 m → N 15.156974°
E 29.619141°		 →
↑
4 717.02 m
↓
↑
4 717.02 m
↓
N 15.114553°
E 29.575196°		 ← 4 717.45 m →
22 250 111 m²		 N 15.114553°
E 29.619141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58221435546875 y=0.45745849609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58221435546875 × 213)
    floor (0.58221435546875 × 8192)
    floor (4769.5)     		tx = 4769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.45745849609375 × 213)
    floor (0.45745849609375 × 8192)
    floor (3747.5)     		ty = 3747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4769 / 3747 ti = "13/4769/3747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4769/3747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4769 ÷ 213
    4769 ÷ 8192     		x = 0.5821533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3747 ÷ 213
    3747 ÷ 8192     		y = 0.4573974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5821533203125 × 2 - 1) × π
    0.164306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51618454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4573974609375 × 2 - 1) × π
    0.085205078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.267679647478394
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51618454} λ = 0.51618454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.267679647478394))-π/2
    2×atan(1.30692839513859)-π/2
    2×0.917667711362092-π/2
    1.83533542272418-1.57079632675     		φ = 0.26453910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51618454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.575196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26453910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.156974°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4769 KachelY 3747 0.51618454 0.26453910 29.575196 15.156974
    Oben rechts KachelX + 1 4770 KachelY 3747 0.51695153 0.26453910 29.619141 15.156974
    Unten links KachelX 4769 KachelY + 1 3748 0.51618454 0.26379871 29.575196 15.114553
    Unten rechts KachelX + 1 4770 KachelY + 1 3748 0.51695153 0.26379871 29.619141 15.114553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26453910-0.26379871) × R
    0.000740390000000035 × 6371000     		dl = 4717.02469000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26453910-0.26379871) × R
    0.000740390000000035 × 6371000     		dr = 4717.02469000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51618454-0.51695153) × cos(0.26453910) × R
    0.000766990000000023 × 0.965213112352023 × 6371000     		do = 4716.50739692832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51618454-0.51695153) × cos(0.26379871) × R
    0.000766990000000023 × 0.965406433429109 × 6371000     		du = 4717.45205907431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26453910)-sin(0.26379871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965213112352023-0.965406433429109)×R²
    abs(0.51695153-0.51618454)×0.000193321077086583×R²
    0.000766990000000023×0.000193321077086583×6371000²
    0.000766990000000023×0.000193321077086583×40589641000000     		ar = 22250110.8556302m²