Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4769 / 3679
↖ ↑ ↗
← N 18.020528°
E 29.575196°		 ← 4 646.79 m → N 18.020528°
E 29.619141°		 →
↑
4 647.33 m
↓
↑
4 647.33 m
↓
N 17.978733°
E 29.575196°		 ← 4 647.89 m →
21 597 708 m²		 N 17.978733°
E 29.619141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58221435546875 y=0.44915771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58221435546875 × 213)
    floor (0.58221435546875 × 8192)
    floor (4769.5)     		tx = 4769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.44915771484375 × 213)
    floor (0.44915771484375 × 8192)
    floor (3679.5)     		ty = 3679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4769 / 3679 ti = "13/4769/3679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4769/3679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4769 ÷ 213
    4769 ÷ 8192     		x = 0.5821533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3679 ÷ 213
    3679 ÷ 8192     		y = 0.4490966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5821533203125 × 2 - 1) × π
    0.164306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51618454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4490966796875 × 2 - 1) × π
    0.101806640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.319834994265015
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51618454} λ = 0.51618454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.319834994265015))-π/2
    2×atan(1.37690054910346)-π/2
    2×0.942656933681214-π/2
    1.88531386736243-1.57079632675     		φ = 0.31451754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51618454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.575196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31451754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.020528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4769 KachelY 3679 0.51618454 0.31451754 29.575196 18.020528
    Oben rechts KachelX + 1 4770 KachelY 3679 0.51695153 0.31451754 29.619141 18.020528
    Unten links KachelX 4769 KachelY + 1 3680 0.51618454 0.31378809 29.575196 17.978733
    Unten rechts KachelX + 1 4770 KachelY + 1 3680 0.51695153 0.31378809 29.619141 17.978733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31451754-0.31378809) × R
    0.000729449999999965 × 6371000     		dl = 4647.32594999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31451754-0.31378809) × R
    0.000729449999999965 × 6371000     		dr = 4647.32594999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51618454-0.51695153) × cos(0.31451754) × R
    0.000766990000000023 × 0.950945742305645 × 6371000     		do = 4646.78998893074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51618454-0.51695153) × cos(0.31378809) × R
    0.000766990000000023 × 0.951171150272265 × 6371000     		du = 4647.89144344714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31451754)-sin(0.31378809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950945742305645-0.951171150272265)×R²
    abs(0.51695153-0.51618454)×0.000225407966619851×R²
    0.000766990000000023×0.000225407966619851×6371000²
    0.000766990000000023×0.000225407966619851×40589641000000     		ar = 21597708.0665079m²