Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47686 / 54978
↖ ↑ ↗
← N 27.834219°
W 49.026489°		 ← 270.09 m → N 27.834219°
W 49.023743°		 →
↑
270.07 m
↓
↑
270.07 m
↓
N 27.831790°
W 49.026489°		 ← 270.09 m →
72 943 m²		 N 27.831790°
W 49.023743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363819122314453 y=0.419452667236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363819122314453 × 217)
    floor (0.363819122314453 × 131072)
    floor (47686.5)     		tx = 47686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419452667236328 × 217)
    floor (0.419452667236328 × 131072)
    floor (54978.5)     		ty = 54978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47686 / 54978 ti = "17/47686/54978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47686/54978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47686 ÷ 217
    47686 ÷ 131072     		x = 0.363815307617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54978 ÷ 217
    54978 ÷ 131072     		y = 0.419448852539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.363815307617188 × 2 - 1) × π
    -0.272369384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.85567366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419448852539062 × 2 - 1) × π
    0.161102294921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.506117786188553
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85567366} λ = -0.85567366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.506117786188553))-π/2
    2×atan(1.65883871153299)-π/2
    2×1.02829754291388-π/2
    2.05659508582777-1.57079632675     		φ = 0.48579876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85567366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.026489°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48579876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.834219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47686 KachelY 54978 -0.85567366 0.48579876 -49.026489 27.834219
    Oben rechts KachelX + 1 47687 KachelY 54978 -0.85562572 0.48579876 -49.023743 27.834219
    Unten links KachelX 47686 KachelY + 1 54979 -0.85567366 0.48575637 -49.026489 27.831790
    Unten rechts KachelX + 1 47687 KachelY + 1 54979 -0.85562572 0.48575637 -49.023743 27.831790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48579876-0.48575637) × R
    4.23900000000033e-05 × 6371000     		dl = 270.066690000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48579876-0.48575637) × R
    4.23900000000033e-05 × 6371000     		dr = 270.066690000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85567366--0.85562572) × cos(0.48579876) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.884302278339882 × 6371000     		do = 270.088677745467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85567366--0.85562572) × cos(0.48575637) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.884322070066014 × 6371000     		du = 270.094722648067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48579876)-sin(0.48575637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884302278339882-0.884322070066014)×R²
    abs(-0.85562572--0.85567366)×1.97917261319791e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97917261319791e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97917261319791e-05×40589641000000     		ar = 72942.7714795323m²