Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47685 / 54975
↖ ↑ ↗
← N 27.841505°
W 49.029236°		 ← 270.07 m → N 27.841505°
W 49.026489°		 →
↑
270.07 m
↓
↑
270.07 m
↓
N 27.839076°
W 49.029236°		 ← 270.08 m →
72 938 m²		 N 27.839076°
W 49.026489°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363811492919922 y=0.419429779052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363811492919922 × 217)
    floor (0.363811492919922 × 131072)
    floor (47685.5)     		tx = 47685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419429779052734 × 217)
    floor (0.419429779052734 × 131072)
    floor (54975.5)     		ty = 54975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47685 / 54975 ti = "17/47685/54975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47685/54975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47685 ÷ 217
    47685 ÷ 131072     		x = 0.363807678222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54975 ÷ 217
    54975 ÷ 131072     		y = 0.419425964355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.363807678222656 × 2 - 1) × π
    -0.272384643554688 × 3.1415926535     		Λ = -0.85572160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419425964355469 × 2 - 1) × π
    0.161148071289062 × 3.1415926535     		Φ = 0.506261596887413
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85572160} λ = -0.85572160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.506261596887413))-π/2
    2×atan(1.65907728744187)-π/2
    2×1.0283611268433-π/2
    2.0567222536866-1.57079632675     		φ = 0.48592593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85572160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.029236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48592593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.841505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47685 KachelY 54975 -0.85572160 0.48592593 -49.029236 27.841505
    Oben rechts KachelX + 1 47686 KachelY 54975 -0.85567366 0.48592593 -49.026489 27.841505
    Unten links KachelX 47685 KachelY + 1 54976 -0.85572160 0.48588354 -49.029236 27.839076
    Unten rechts KachelX + 1 47686 KachelY + 1 54976 -0.85567366 0.48588354 -49.026489 27.839076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48592593-0.48588354) × R
    4.23900000000033e-05 × 6371000     		dl = 270.066690000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48592593-0.48588354) × R
    4.23900000000033e-05 × 6371000     		dr = 270.066690000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85572160--0.85567366) × cos(0.48592593) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.884242893627548 × 6371000     		do = 270.070540125758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85572160--0.85567366) × cos(0.48588354) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.884262690120614 × 6371000     		du = 270.076586484302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48592593)-sin(0.48588354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884242893627548-0.884262690120614)×R²
    abs(-0.85567366--0.85572160)×1.97964930656047e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97964930656047e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97964930656047e-05×40589641000000     		ar = 72937.8733091863m²