Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47683 / 54979
↖ ↑ ↗
← N 27.831790°
W 49.034729°		 ← 270.09 m → N 27.831790°
W 49.031982°		 →
↑
270.07 m
↓
↑
270.07 m
↓
N 27.829361°
W 49.034729°		 ← 270.10 m →
72 944 m²		 N 27.829361°
W 49.031982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47683 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363796234130859 y=0.419460296630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363796234130859 × 217)
    floor (0.363796234130859 × 131072)
    floor (47683.5)     		tx = 47683
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419460296630859 × 217)
    floor (0.419460296630859 × 131072)
    floor (54979.5)     		ty = 54979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47683 / 54979 ti = "17/47683/54979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47683/54979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47683 ÷ 217
    47683 ÷ 131072     		x = 0.363792419433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54979 ÷ 217
    54979 ÷ 131072     		y = 0.419456481933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.363792419433594 × 2 - 1) × π
    -0.272415161132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.85581747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419456481933594 × 2 - 1) × π
    0.161087036132812 × 3.1415926535     		Φ = 0.506069849288933
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85581747} λ = -0.85581747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.506069849288933))-π/2
    2×atan(1.65875919385412)-π/2
    2×1.0282763473219-π/2
    2.0565526946438-1.57079632675     		φ = 0.48575637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85581747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.034729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48575637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.831790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47683 KachelY 54979 -0.85581747 0.48575637 -49.034729 27.831790
    Oben rechts KachelX + 1 47684 KachelY 54979 -0.85576953 0.48575637 -49.031982 27.831790
    Unten links KachelX 47683 KachelY + 1 54980 -0.85581747 0.48571398 -49.034729 27.829361
    Unten rechts KachelX + 1 47684 KachelY + 1 54980 -0.85576953 0.48571398 -49.031982 27.829361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48575637-0.48571398) × R
    4.23900000000033e-05 × 6371000     		dl = 270.066690000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48575637-0.48571398) × R
    4.23900000000033e-05 × 6371000     		dr = 270.066690000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85581747--0.85576953) × cos(0.48575637) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.884322070066014 × 6371000     		do = 270.094722648067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85581747--0.85576953) × cos(0.48571398) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.884341860203097 × 6371000     		du = 270.10076706533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48575637)-sin(0.48571398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884322070066014-0.884341860203097)×R²
    abs(-0.85576953--0.85581747)×1.97901370828646e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97901370828646e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97901370828646e-05×40589641000000     		ar = 72944.4039408229m²