Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47678 / 54974
↖ ↑ ↗
← N 27.843933°
W 49.048462°		 ← 270.01 m → N 27.843933°
W 49.045716°		 →
↑
270 m
↓
↑
270 m
↓
N 27.841505°
W 49.048462°		 ← 270.01 m →
72 904 m²		 N 27.841505°
W 49.045716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363758087158203 y=0.419422149658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363758087158203 × 217)
    floor (0.363758087158203 × 131072)
    floor (47678.5)     		tx = 47678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419422149658203 × 217)
    floor (0.419422149658203 × 131072)
    floor (54974.5)     		ty = 54974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47678 / 54974 ti = "17/47678/54974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47678/54974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47678 ÷ 217
    47678 ÷ 131072     		x = 0.363754272460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54974 ÷ 217
    54974 ÷ 131072     		y = 0.419418334960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.363754272460938 × 2 - 1) × π
    -0.272491455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.85605715
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419418334960938 × 2 - 1) × π
    0.161163330078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.506309533787033
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85605715} λ = -0.85605715}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.506309533787033))-π/2
    2×atan(1.65915682036952)-π/2
    2×1.0283823205375-π/2
    2.056764641075-1.57079632675     		φ = 0.48596831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85605715} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.048462°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48596831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.843933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47678 KachelY 54974 -0.85605715 0.48596831 -49.048462 27.843933
    Oben rechts KachelX + 1 47679 KachelY 54974 -0.85600922 0.48596831 -49.045716 27.843933
    Unten links KachelX 47678 KachelY + 1 54975 -0.85605715 0.48592593 -49.048462 27.841505
    Unten rechts KachelX + 1 47679 KachelY + 1 54975 -0.85600922 0.48592593 -49.045716 27.841505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48596831-0.48592593) × R
    4.23800000000085e-05 × 6371000     		dl = 270.002980000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48596831-0.48592593) × R
    4.23800000000085e-05 × 6371000     		dr = 270.002980000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85605715--0.85600922) × cos(0.48596831) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.884223100216223 × 6371000     		do = 270.008160855085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85605715--0.85600922) × cos(0.48592593) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.884242893627548 × 6371000     		du = 270.014205011347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48596831)-sin(0.48592593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884223100216223-0.884242893627548)×R²
    abs(-0.85600922--0.85605715)×1.97934113245202e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.97934113245202e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.97934113245202e-05×40589641000000     		ar = 72903.8240363064m²