Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47674 / 54966
↖ ↑ ↗
← N 27.863360°
W 49.059448°		 ← 270.02 m → N 27.863360°
W 49.056701°		 →
↑
270 m
↓
↑
270 m
↓
N 27.860932°
W 49.059448°		 ← 270.02 m →
72 906 m²		 N 27.860932°
W 49.056701°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363727569580078 y=0.419361114501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363727569580078 × 217)
    floor (0.363727569580078 × 131072)
    floor (47674.5)     		tx = 47674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419361114501953 × 217)
    floor (0.419361114501953 × 131072)
    floor (54966.5)     		ty = 54966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47674 / 54966 ti = "17/47674/54966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47674/54966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47674 ÷ 217
    47674 ÷ 131072     		x = 0.363723754882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54966 ÷ 217
    54966 ÷ 131072     		y = 0.419357299804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.363723754882812 × 2 - 1) × π
    -0.272552490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85624890
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419357299804688 × 2 - 1) × π
    0.161285400390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.506693028983993
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85624890} λ = -0.85624890}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.506693028983993))-π/2
    2×atan(1.65979322106164)-π/2
    2×1.02855185300632-π/2
    2.05710370601264-1.57079632675     		φ = 0.48630738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85624890} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.059448°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48630738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.863360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47674 KachelY 54966 -0.85624890 0.48630738 -49.059448 27.863360
    Oben rechts KachelX + 1 47675 KachelY 54966 -0.85620096 0.48630738 -49.056701 27.863360
    Unten links KachelX 47674 KachelY + 1 54967 -0.85624890 0.48626500 -49.059448 27.860932
    Unten rechts KachelX + 1 47675 KachelY + 1 54967 -0.85620096 0.48626500 -49.056701 27.860932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48630738-0.48626500) × R
    4.23800000000085e-05 × 6371000     		dl = 270.002980000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48630738-0.48626500) × R
    4.23800000000085e-05 × 6371000     		dr = 270.002980000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85624890--0.85620096) × cos(0.48630738) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.884064681735299 × 6371000     		do = 270.016109626691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85624890--0.85620096) × cos(0.48626500) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.884084487851725 × 6371000     		du = 270.022158924457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48630738)-sin(0.48626500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884064681735299-0.884084487851725)×R²
    abs(-0.85620096--0.85624890)×1.98061164259355e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.98061164259355e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.98061164259355e-05×40589641000000     		ar = 72905.9709223852m²