Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47672 / 54968
↖ ↑ ↗
← N 27.858504°
W 49.064941°		 ← 269.97 m → N 27.858504°
W 49.062195°		 →
↑
270 m
↓
↑
270 m
↓
N 27.856076°
W 49.064941°		 ← 269.98 m →
72 894 m²		 N 27.856076°
W 49.062195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363712310791016 y=0.419376373291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363712310791016 × 217)
    floor (0.363712310791016 × 131072)
    floor (47672.5)     		tx = 47672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419376373291016 × 217)
    floor (0.419376373291016 × 131072)
    floor (54968.5)     		ty = 54968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47672 / 54968 ti = "17/47672/54968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47672/54968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47672 ÷ 217
    47672 ÷ 131072     		x = 0.36370849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54968 ÷ 217
    54968 ÷ 131072     		y = 0.41937255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36370849609375 × 2 - 1) × π
    -0.2725830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.85634477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41937255859375 × 2 - 1) × π
    0.1612548828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.506597155184753
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85634477} λ = -0.85634477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.506597155184753))-π/2
    2×atan(1.65963409800757)-π/2
    2×1.02850947273697-π/2
    2.05701894547394-1.57079632675     		φ = 0.48622262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85634477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.064941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48622262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.858504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47672 KachelY 54968 -0.85634477 0.48622262 -49.064941 27.858504
    Oben rechts KachelX + 1 47673 KachelY 54968 -0.85629684 0.48622262 -49.062195 27.858504
    Unten links KachelX 47672 KachelY + 1 54969 -0.85634477 0.48618024 -49.064941 27.856076
    Unten rechts KachelX + 1 47673 KachelY + 1 54969 -0.85629684 0.48618024 -49.062195 27.856076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48622262-0.48618024) × R
    4.23800000000085e-05 × 6371000     		dl = 270.002980000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48622262-0.48618024) × R
    4.23800000000085e-05 × 6371000     		dr = 270.002980000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85634477--0.85629684) × cos(0.48622262) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.884104292380278 × 6371000     		do = 269.97188145312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85634477--0.85629684) × cos(0.48618024) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.884124095320923 × 6371000     		du = 269.977928519276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48622262)-sin(0.48618024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884104292380278-0.884124095320923)×R²
    abs(-0.85629684--0.85634477)×1.9802940645075e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.9802940645075e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.9802940645075e-05×40589641000000     		ar = 72894.0288824583m²