Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4767 / 3672
↖ ↑ ↗
← N 18.312811°
E 29.487304°		 ← 4 639.02 m → N 18.312811°
E 29.531250°		 →
↑
4 639.55 m
↓
↑
4 639.55 m
↓
N 18.271086°
E 29.487304°		 ← 4 640.13 m →
21 525 563 m²		 N 18.271086°
E 29.531250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58197021484375 y=0.44830322265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58197021484375 × 213)
    floor (0.58197021484375 × 8192)
    floor (4767.5)     		tx = 4767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.44830322265625 × 213)
    floor (0.44830322265625 × 8192)
    floor (3672.5)     		ty = 3672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4767 / 3672 ti = "13/4767/3672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4767/3672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4767 ÷ 213
    4767 ÷ 8192     		x = 0.5819091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3672 ÷ 213
    3672 ÷ 8192     		y = 0.4482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5819091796875 × 2 - 1) × π
    0.163818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51465055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4482421875 × 2 - 1) × π
    0.103515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.325203927022461
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51465055} λ = 0.51465055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.325203927022461))-π/2
    2×atan(1.38431291600965)-π/2
    2×0.945207585675563-π/2
    1.89041517135113-1.57079632675     		φ = 0.31961884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51465055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.487304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31961884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.312811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4767 KachelY 3672 0.51465055 0.31961884 29.487304 18.312811
    Oben rechts KachelX + 1 4768 KachelY 3672 0.51541754 0.31961884 29.531250 18.312811
    Unten links KachelX 4767 KachelY + 1 3673 0.51465055 0.31889061 29.487304 18.271086
    Unten rechts KachelX + 1 4768 KachelY + 1 3673 0.51541754 0.31889061 29.531250 18.271086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31961884-0.31889061) × R
    0.000728229999999996 × 6371000     		dl = 4639.55332999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31961884-0.31889061) × R
    0.000728229999999996 × 6371000     		dr = 4639.55332999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51465055-0.51541754) × cos(0.31961884) × R
    0.000766989999999912 × 0.949355249315924 × 6371000     		do = 4639.01805560801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51465055-0.51541754) × cos(0.31889061) × R
    0.000766989999999912 × 0.94958381087367 × 6371000     		du = 4640.13492012629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31961884)-sin(0.31889061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949355249315924-0.94958381087367)×R²
    abs(0.51541754-0.51465055)×0.00022856155774631×R²
    0.000766989999999912×0.00022856155774631×6371000²
    0.000766989999999912×0.00022856155774631×40589641000000     		ar = 21525563.4953582m²